第十三讲 随机变量的数字特征(协方差及相关系数).docVIP

第十三讲 协方差及相关系数 协方差及相关系数的定义 设为二维随机向量,若存在, 则称其为随机变量和的协方差, 记为,即 称 为随机变量和的相关系数. 由上一节课方差性质的证明过程知， （3.1） （协方差的计算公式） 且 （随机变量和的方差与协方差的关系） 2. 协方差的基本性质：（不予证明） ,其中是常数; 为任意常数; (6) 若与相互独立时,则 3. 相关系数的性质 定理： （1） （2）的充要条件是，存在常数a,b使 证：考虑以X的线性函数来近似表示Y，并以均方误差 （3.2） 来衡量以来近似表达Y的好坏程度。越小，近似程度越好。 为求的极小值，令 得 （3.3） 将代入的表达式（3.2）得 （3.4） （1）由式（3.4）与及的非负性，得知，亦即。 （2）先证必要性。 若，由式（3.4）得 从而 故有 =0 结合方差的性质4知， ，即 . 再证充分性。 若存在使，即 ， 于是， 即得 故有 即得=0或。 例１设(X,Y)的分布律为 X Y 1 2 1 0 1/4 1/4 0 1/2 4 1/4 0 0 1/4 1/2 1/4 1/4 1/4 1/4 1 求X和Y的相关系数，并考察X,Y是否独立。 解：易知 于是， =0. 即X和Y不相关. 这表示不存在线性关系. 但知不是相互独立的. 事实上, 和具有关系: 的值完全可由的值所确定. 例２ 设二维随机变量 ( X, Y )的概率密度为 证明： X 与 Y 不相关，但不相互独立． 证　 从而有, ,即X 与 Y 不相关． 由于 而, 可见，，因此，X 和 Y 不相互独立。 定理 设X,Y服从参数为的二维正态分布，即，则，X和Y相互独立的充要条件是且X和Y不相关与X和Y相互独立是等价的。（定理不予证明） 第四章 随机变量的 数字特征 §3 协方差及其相关系数 对多维随机变量, 随机变量的数学期望和方差只反映了各自的平均值与偏离程度，并没能反映随机变量之间的关系. 本节将要讨论的协方差是反映随机变量之间依赖关系的一个数字特征. 即 代入（1）式有 特别注意: （1）相关系数刻画了随机变量Y与X之间的“线性相关”程度.当时, Y可完全由X的线性函数给出.当时, Y与X之间不是线性关系，称X和Y不相关. （2）“线性相关”与独立性不同。若X,Y相互独立，则X和Y之间不存在函数关系，包括线性关系，因此；但是，X和Y不相关（）仅仅表明X与Y之间不是线性关系，并不能说明X与Y之间不存在任何函数关系，即不能说明X和Y相互独立。 （课间休息） 4. 矩的概念 定义 设和为随机变量, 为正整数, 称 为阶原点矩(简称阶矩阵); 为阶中心矩; 为和的阶混合矩; 为和的阶混合中心矩; 注: 由定义可见: (1) 的数学期望是的一阶原点矩; (2) 的方差是的二阶中心矩; (3)协方差是和的二阶混合中心矩. 5. 协方差矩阵 将二维随机变量的四个二阶中心矩 排成矩阵的形式: （对称矩阵），称此矩阵为的协方差矩阵. 类似定义维随机变量的协方差矩阵. 若都存在, 则称 为的协方差矩阵. 附录 １. 求以近似表达Y时的最小均方误差 考虑以X的线性函数来近似表示Y，均方误差 越小，与Y的近似程度就越好。 为求的极小值，令 ，得 将代入的表达式得 ２. 设服从二维正态分布, 它的概率密度为 求和的相关系数. 解：由前面章节知道，， 因此，，，，. 而令，，则 ３．二重积分的换元法 定理 设在平面上的闭区域上连续，变换 将平面上的闭区域变为平面上的区域,且满足 （1）上具有一阶连续偏导数； （2）在上雅克比式； （3）变换是一对一的， 则有