第四章 极限定理.docVIP

第四章　极限定理 教学目标 概率统计主要研究随机现象的统计规律，而这种统计规律只有对随机现象进行大量重复观测才能显现出来。对大量重复观测作数学处理厂采用极限的方法，这就是对极限定理的研究。在本章教学过程中，重点的数熟练运用两种最基本的极限定理：大数定理和中心极限定理。 基本要求 理解切贝晓夫不等式，会利用切贝晓夫不等式作简单的证明和计算。 了解依概率收敛和独立同分布随机变量序列的概念。 理解切贝晓夫大数定理和贝努利大数定理，会利用大数定理作简单计算。 理解独立同分布中心极限定理和隶莫弗－拉普拉斯中心极限定理，会利用正态分布表作近似计算。 教学重点 大数定理和中心极限定理的内容。 大数定理和中心极限定理的应用。 教学重点 大数定理和中心极限定理的应用。 教学方法和教学手段 启发式教学，讲练结合法，多媒体教学和板书教学相结合。 教学内容及课时安排（4课时） §4.1大数定律 （2课时） §4.2中心极限定理 （2课时） 七、参考书 [1] 周概容.概率论与数理统计.北京：高等教育出版社，1984 [2] 魏忠舒.概率论与数理统计教程. 北京：高等教育出版社，1997 [3]复旦大学.概率论. 北京：人民教育出版社，1979 §4.1大数定律 一、教学目标与要求 理解切贝晓夫不等式，会利用切贝晓夫不等式作简单的证明和计算。 会利用大数定理作简单计算。 二、教学重点和难点 切贝晓夫不等式和大数定律的应用 三、教学方法与手段 启发式教学，多媒体课件教学与板书教学相结合。 四、教学过程（２学时） 授课内容 切贝晓夫不等式 定理4.1　设随机变量x的期望及方差都存在，则对有 依概率收敛 定义4.1　设是随机变量序列，是一常数，若对，有 或　　　　　　　　　　　　　 则称依概率收敛于，记作。 独立同分布随机变量序列 定义4.2　设是随机变量序列，若相互独立且同分布，则称是独立同分布随机变量序列。 大数定理 定理4.2（切贝晓夫大数定理）设是相互独立的随机变量序列，期望和方差都存在，且方差有界，即存在使，则对有 推论（辛钦大数定理）设是相互独立的随机变量序列，期望 ，则对有 定理4.3（贝努里大数定理）设是在重贝努里试验中事件发生的次数，是事件在每次试验中发生的概率，则对有 或　　　　　　　　　　　　　 课堂练习 例１设是随机变量则　　　　　　　　　　。 例２　设事件在每次试验中发生的概率为，试利用切贝晓夫不等式估计在次独立试验中，事件发生的次数在之间的概率？ 例３　证明的充要条件是随机变量以概率取常数，即。 例４　设表示在次试验中事件发生的次数，是事件在第次试验中发生的概率，试证对有 小结 大数定理主要是采用极限方法研究统计规律，重点是熟练掌握切贝晓夫不等式的内容和应用。 课后练习 课本156页习题四 §4.2中心极限定理 一、教学目标与要求 1.理解独立同分布中心极限定理，和棣莫弗－拉普拉斯定理。 2.会利用中心极限定理作近似计算。 二、教学重点和难点 中心极限定理的内容和应用 三、教学方法与手段 启发式教学，多媒体课件教学与板书教学相结合。 四、教学过程（２学时） （一）授课内容 独立同分布中心极限定理 定理4.４设是相互独立的随机变量序列，期望 ，则对任意的实数，有 其中是标准正态分布的分布函数。 棣莫弗－拉普拉斯定理 定理4.5　设服从参数为的二项分布，则对任意实数，有 其中是标准正态分布的分布函数。 课堂练习 例１一射击运动员在一次射击中所得的环数的概率分布如下 10 9 8 7 6 0.05 0.5 0.3 0.1 0.05 问在100次的射击中，所得的总环数介于900环和930环之间的概率是多少？超过950环的概率又是多少？ 例２　设某商店每天接待顾客100人，每位顾客的消费额（元）服从上的均匀分布，并且顾客的消费是相互独立的，求商店的日销售额超过3500元的概率？ 例３　设每颗子弹击中飞机的概率为0.01，求500发子弹中有5发击中的概率？ 例４ 某单位有100个职工，设每个职工中午到食堂用餐的概率为0.5，试问食堂准备了60份饭菜，不能满足供应的概率？ 例5 某单位内部有260架电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，且每个分机使用外线是相互独立的，问总机要备有多少条外线才能以95％的把握保证各个分机在用外线时不用等待？ （三）小结 中心极限定理是论证大量随机变量和的极限分布是正态分布的定理，因此，在应用时需要注意定理的内容和正态分布表的应用。 课后练习 　　课本156页习题四7、10、11、13