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第四章 差分方程方法 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 下面就不同类型的差分方程进行讨论。所谓的差分方程是指：对于一个数列，把数列中的前项关联起来所得到的方程。 4．1常系数线性差分方程 4.1.1 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 (4.1) 其中为差分方程的阶数，为差分方程的系数，且。对应的代数方程 （4.2） 称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。 1. 特征根为单根 设差分方程（4.1）有个单特征根 ，则差分方程（4.1）的通解为 ， 其中为任意常数，且当给定初始条件 (4.3) 时，可以唯一确定一个特解。 2. 特征根为重根 设差分方程（4.1）有个相异的特征根重数分别为且 则差分方程（4.1）的通解为 同样的，由给定的初始条件（4.3）可以唯一确定一个特解。 3. 特征根为复根 设差分方程（4.1）的特征根为一对共轭复根和相异的个单根,则差分方程的通解为 , 其中, . 同样由给定的初始条件（4.3）可以惟一确定一个特解。 另外，对于有多个共轭复根和相异实根，或共轭复根和重根的情况，都可以类似地给出差分方程解的形式。 常系数线性非齐次差分方程 常系数线性非齐次差分方程的一般形式为 (4.4) 其中为差分方程的阶数，为差分方程的系数，,为已知函数。 在差分方程（4.4）中，令, 所得方程 (4.5) 称为非齐次差分方程（4.4）对应的齐次差分方程，即与差分方程（4.1）的形式相同。 求解非齐次差分方程通解的一般方法为 首先求对应的齐次差分方程（4.5）的通解 ，然后求非齐次差分方程（4.4）的一个特解，则 为非齐次差分方程（4.4）的特解。 关于求的方法同求差分方程（4.1）的方法相同。对于求非齐次方程（4.4）的特解 的方法，可以用观察法确定，也可以根据的特性用待定系数法确定，具体方法可参照常系数线性非齐次微分方程求特解的方法。 4.2 差分方程的平衡点及其稳定性 一般来说，差分方程的求解是困难，实际中往往不需要求出差分方程的一般解，而只需要研究它的平衡点及其稳定性即可。 4.2.1 一阶线性常系数差分方程 一阶线性常系数差分方程的一般形式为 ，， 其中为常数，它的平衡点由代数方程求解得到，不妨记为. 如果，则称平衡点是稳定的，否则是不稳定的。 为了便于研究平衡点的稳定性问题，一般将其转化为求方程的平衡点的稳定性问题。事实上，令是方程的根，即满足，则与两式相减，可得 令，则，于是数列的问题就转化为了。 而由 可以解得 ， 于是是稳定的平衡点的充要条件是：. 4.2.2一阶线性常系数差分方程组 一阶线性常系数齐次差分方程组的一般形式为 ， ， 其中为维向量，为阶常数矩阵。 它的平衡点是稳定的充要条件是的所有特征根都有 (). 对于一阶线性常系数非齐次差分方程组 ， 的情况同样给出。 4.2.3 二阶线性常系数差分方程 二阶线性常系数齐次差分方程的一般形式为 ， 其中为常数，其平衡点是稳定的充要条件是特征方程， 的根满足，。 对于一般的二阶线性常系数非齐次差分方程的平衡点的稳定性问题同样给出。类似地，也可直接推广到阶线性差分方程的情况。 4.2.4 一阶非线性差分方程 一阶非线性方程的一般形式为 ， ， 其中为已知函数，其平衡点定义为方程的解。 事实上，将在处作一阶的泰勒展开有 ， 则也是一阶线性方程的（近似）平衡点，故此，平稳衡点稳定的充要条件是|。 4.3 连续模型的差分方法 4.3.1 微分的差分方程 已知在点处的函数值 （），且，试求函数的导数值。 根据导数的定义，用差商代替微商，则有下面的差分公式。 向前差： 向后差：