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第四章 导数与微分 导数的定义是极限概念的具体应用，导数和微分构成微分学，是高等数学里极其重要的一部分内容，它是由自然科学中的实际问题抽象而产生的，如物理中的速度、加速度、密度、电流强度；化学中的热容量、反应速度；生物中的生殖率；几何学中的切线斜率等。自然科学及技术科学中大量变化率的问题都涉及到导数的概念，它是研究函数的有力工具之一，有着广泛的实际意义。 微分学的开端可以追溯到16世纪末，它的理论是在17世纪下半叶由莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz 1646年—1716年）与牛顿（Isaac Newton 1642年—1727年）同时独立地作为一种演算，即作为一种容易驾驭的方法发展起来的。牛顿是由研究物理问题达到微分演算的，而莱布尼兹则是从切线问题入手的。他们将微分运算工具发展到最大限度，并将微分运算应用于解许多几何问题。但逻辑严格性上的缺陷直到19世纪才由大科学家如法国柯西、俄国罗巴斯基、挪威阿贝尔、德国黎蔓等努力所消除。 基本内容：基本概念：导数及微分的概念；求导及求微的基本公式；高阶导数；隐函数； 基本运算：求导及求微的四则运算法则；复合函数的求导法则； 本章重点：导数及微分的概念；求导及求微的基本运算。 本章难点：复合函数的求导；实际问题归结为求导问题。 课标导航 1．掌握导数、微分的定义；了解 2．熟练地掌握求导数、微分的四则运算法则；反函数、复合函数的求导法则进行导数的计算； 3．熟练地应用导数、微分基本公式，并能推导或求出初等函数的导数与微分。 一 、知识梳理与链接 （一）基本概念 1．导数的定义 （1）函数在点的导数 【定义】设函数在点的某一邻域）内有定义，给以增量 点仍在该邻域内，相应地函数有增量.如果当时，比值的极限存在，则称函数在点处的可导，此极限值就称为函数在点处的导数，记作或；或即有 一般有两种形式 或 （2）导函数 【定义】设函数 在某一区间内的每一点都可导，就称函数在区间内可导.此时，对任一，都对应着的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数的导函数，记作或；或,即有 或 . 2．左导数和右导数 【定义】导数公式的右边是极限的形式，那么相对应的左、右极限分别称为在点处的左、右导数。记作 或 或 3．导数存在的充要条件 由于导数公式的右边是极限形式，故根据极限存在的充要条件我们可知在点处可导的充要条件是和都存在，且=. 4．导数的几何意义 【几何意义】函数在点处导数的几何意义是函数所表示的曲线在点处切线的斜率. 5．可导与连续的关系 可导一定连续，连续未必可导。连续是可导的必要条件，即不连续一定不可导，函数在点连续，在该点不一定可导。 也就是说函数在点处连续是指，而在点可导是指存在。这两种极限的关系就是如果函数在点处可导，则函数在该点必定连续。 6．高阶导数的定义 【定义】把函数的导数称为函数的一阶导数。若函数的导数仍是的可导函数，则的导数叫做函数的二阶导数，记作或，即或. 二阶导数的定义形式为：或 类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数就叫做四阶导数，一般地，阶导数的导数叫做阶导数，分别记作 或 【注】函数的二阶或二阶以上的导数统称为高阶导数。 7．隐函数的导数 由方程所确定的函数称为隐函数，求隐函数的导数时，将方程的两边同时对自变量求导，求导时将遇到的函数应看成是的复合函数，用复合函数的求导法来求导数，然后从所得关系式中解出，即为隐函数的求导法。 求隐函数的二阶导时，应在求出后，再对求一次导数，同样注意在的表达式中，是的函数，或方程的两边同时对自变量连续求两次导数，解出. 8．由参数方程所确定的函数的导数 定理 设参数方程都是在某个区间的可导函数，又有单调连续反函数，当时，则有 如果参数方程在某个区间还是二阶可导的，那么从上式又可得到函数的二阶导数公式： 【注意】求导的最后结果中允许保留参数. 9．对数求导法 对数求导法往往针对幂指函数 和一些利用对数运算把多次乘、除、乘方及开方运算得到的函数化简再求导的函数。求导方法是两边取对数得，两边求导得 我们把这种方法称作对数求导法。 10．微分的概念 【定义】设函数在某区间内有定义，点及均在该区间内，如果函数的增量 可以表示为，其中是不依赖于的常数，而是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即 若函数在内每一点都可微，则称在内可微。 11．可导与可微的关系：函数可微必可导，可导必可微，可导与可微是一致的。即函数的微分就是函数的导数与自变量改变量的乘积，即 如果将自变量当作自己的函数，则可得.因此，常把自变量的增量写成自变量的微分，于是函数的微分可以写成，即函数的微分就是函数的导数与自变量的微分之乘积。