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第四章 导数与微分 导数与微分是微分学的两个重要概念，也是解决函数的函数值计算或近似计算的有效工具.本章将从两个实际问题︰已知运动规律求瞬时速度和已知曲线方程求曲线的切线斜率抽象出导数概念，并在此基础上探索基本求导法则与公式，进而给出微分概念. 第一节 导数的概念 导数作为微分学中最重要的概念，是由英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）分别在研究力学和几何学过程中提出来的. 一、导数的定义 1.瞬时速度 大家通过学习物理都知道这样一个简单的问题︰ 一辆汽车从相距120的地出发到地，行驶了4，那么该汽车行驶的速度就是＝，此时的只是反映了汽车从地到地的平均速度，并不能代表汽车在某一时刻的瞬间速度，即瞬时速度.那么如何根据物体的运动规律，计算它在某一时刻的瞬时速度呢？ 如果物体作非匀速直线运动，其运动规律为，当时，，当时，设物体运动的距离为，那么 . 其中是物体在时间内运动的距离，由物理知识我们知道，该物体在时间内的平均速度满足 . 显然，随的变化而变化，当较小时，可将看作物体在时刻的“瞬时速度”的近似值，当越小，它的近似程度越好.特别地，当无限趋近于0时，平均速度的极限 便可以认为是物体在时刻的瞬时速度. 2．切线的斜率 对于一些特殊曲线的切线问题，可应用初等数学方法解决，而对一般曲线的切线斜率问题，则要涉及导数问题. 设曲线为函数的图象，如图4-1所示： （叶淼林63） 求过该曲线上一点的切线斜率. 不妨设是曲线上不同于点的一点，坐标为，其中，，. 由平面解析几何可知，割线的斜率(即对的平均变化率)为 当较小时，越接近于点，此时割线的斜率可看作是曲线上过点的切线斜率的近似值. 当无限趋近与0 时，割线斜率的极限 便是曲线过点的切线的斜率. 尽管上述二例具体背景各不相同，但最终都归结为讨论函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限问题.正是由于这类问题的研究促使了导数概念的诞生. 定义4-1 函数在的某个邻域内有定义，在处有一增量，相应函数的增量为.若极限 （1） 存在，则称此函数在处可导（或存在导数），并称该极限值为函数在处的导数，记为. 若令，则（1）式可改写为 （2） 若极限（1）或（2）不存在，则称函数在处不可导. 另外，在（1）式中，若自变量的改变量只从大于0或只从小于0的方向趋近于0，那么有如下定义 定义4-2 设函数在点的某右邻域内有定义.若 ， （3） 存在，则称该极限为在处的右导数，记作，此时亦称函数在处右可导. （3）式也可写为. 类似地，若， （4） 存在，则称此极限为在点处的左导数，记作，此时也称函数在处左可导. （4）式也可改为 . 左导数和右导数统称为单侧导数. 与极限情形一样，导数与它的单侧导数有以下关系: 定理4-1 若函数在点的某邻域内有定义，则存在的充要条件是与都存在，且 = 下面通过几个实例来熟悉导数的概念 例1 求函数在点处的导数. 解 由于 所以 例2 求常量函数在任一点处的导数. 解 因为 且 故 . 即常数函数的导数为0. 例3 求正弦函数在处的导数. 解 因为 故 （其中）. 即正弦函数在R上任意处可导，且. 读者可以根据这一过程证明. 下面介绍几个不可导的例子. 例4 设，讨论在处的可导性. 解 由于 所以 即在点处的左右导数都存在，但≠，由定理4-1可知在处不可导. 例5 证明函数在处不可导. 证明 由于 当时，上式极限不存在，所以在处不可导. 此外函数在某点处的可导与它在该点处是否连续也有如下定理: 定理4-2 若函数在点处可导，则函数在处连续. 证明 设在处的改变量为，则相应函数改变量,那么 即在处连续. 注意 可导仅是函数在某点处连续的充分条件，不是必要条件.像定理4-2，它的逆命题是不成立的.即函数在一点连续，函数在该点处不一定可导，如例4中所指出的函数，其图象如4-2所示： 由图象可知，在处连续，但它在处并不可导. 二、导数的几何意义 由引例2可知，当点沿着曲线无限趋近于点时，割线的极限位置就是曲线过点的切线，而过点的切线斜率正是割线斜率在时的极限，即 又由导数定义，所以导数的几何意义是： 函数在点处的导数是曲线在点（）处的切线的斜率. 此时曲线在点（）处的切线方程为 例6 求在点P处的切线方程与法线方程。 解 由于 故