第四讲导数及偏导数计算.docVIP

第四讲导数及偏导数计算实验目的 １．进一步理解导数概念及其几何意义.２．学习matlab的求导命令与求导法. 实验内容 １．学习matlab命令. 建立符号变量命令sym和syms调用格式: x=sym(x)， 建立符号变量x； syms x y z ， 建立多个符号变量x，y，z； matlab求导命令diff调用格式: diff(函数) ， 求的一阶导数； diff(函数， n) ， 求的n阶导数(n是具体整数)； diff(函数，变量名)，求对的偏导数； diff(函数， 变量名，n) ，求对的n阶偏导数； matlab求雅可比矩阵命令jacobian，调用格式: jacobian([函数；函数； 函数]， [])给出矩阵: ２．导数概念. 导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率. （１）点导数是一个极限值. 例3.1.设，用定义计算. 解:在某一点的导数定义为极限: 我们记，输入命令: syms h；limit((exp(0+h)-exp(0))/h，h，0) 得结果:ans=１．可知 （２）导数的几何意义是曲线的切线斜率. 例3.2.画出在处()的切线及若干条割线，观察割线的变化趋势. 解:在曲线上另取一点，则的方程是: .即 取，分别作出几条割线. h=[3,2,1,0.1,0.01];a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3; plot(x,exp(x), r.);hold on for i=1:5; plot(h(i),exp(h(i)),r.) plot(x,a(i)*x+1) end axis square作出在处的切线 plot(xx+1, r.) 从图上看，随着与越来越接近，割线越来越接近曲线的割线． ３．求一元函数的导数. （１）的一阶导数. 例3.3.求的导数. 解:打开matlab指令窗，输入指令: dy_dx=diff(sin(x)/x) 得结果: dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x^2. matlab的函数名允许使用字母、空格、下划线及数字，不允许使用其他字符，在这里我们用dy_dx表示 例3.4.求的导数. 解: 输入命令: dy_dx=diff(log(sin(x)))得结果: dy_dx=cos(x)/sin(x). 在matlab中，函数用log(x)表示，而log10(x)表示 例3.5.求的导数. 解: 输入命令:dy_dx=diff((x^2+2*x)^20). 得结果: dy_dx=20*(x^2+2*x)^19*(2*x+2). 注意输入时应为2*x. 例3.6.求的导数. 解: 输入命令: dy_dx=diff(x^x). 得结果: dy_dx =x^x*(log(x)+1). 利用matlab 命令diff一次可以求出若干个函数的导数. 例3.7.求下列函数的导数: 1. 2. 3. 4. 解: 输入命令: a=diff([sqrt(x^2- 2*x+5)，cos(x^2)+2*cos(2*x)，4^(sin(x))， log(log(x))]). 得结果: a= [1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2)，-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x)， 4^sin(x)*cos(x)*log(4)，1/x/log(x)]. dy1_dx=a(1) dy1_dx=1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2). dy2_dx=a(2) dy2_dx=-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x). dy3_dx=a(3) dy3_dx=4^sin(x)*cos(x)*log(4). dy4_dx=a(4) dy4_dx=1/x/log(x). 由本例可以看出，matlab函数是对矩阵或向量进行操作的，a(i)表示向量a的第i个分量.（２）参数方程所确定的函数的导数. 设参数方程确定函数，则的导数 例3.8.设，求 解: 输入命令: dx_dt=diff(a*(t-sin(t)))；dy_dt=diff(a*(1-cos(t)))； dy_dx=dy_dt/dx_dt. 得结果: dy_dx=sin(t)/(1-cos(t)). 其中分号的作用是不显示结果. ４．求多元函数的偏导数. 例3.9.设 求 u的一阶偏导数. 解: 输入命令: diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2)， x). 得结果: ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x. 在命令中将末尾的x换成y将给出y的偏导数: ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y. 也可以输入命令: jacobian((x^2+y^2+z^2)^(1/2)，[x y]).