第四讲随机变量的数字特征.docVIP

第四讲 随机变量的数字特征 考纲要求 1.理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数），会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征. 2.会求随机变量函数的数学期望. 一、随机变量的数字特征 问题1 叙述随机变量的数学期望的定义、性质及随机变量函数的数学期望公式. 答 随机变量的数学期望是随机变量的平均值，它反映随机变量取值的中心位置. 1.定义与公式 ⑴离散型随机变量的概率分布为,； ⑵离散型随机变量的概率分布为， ； ⑶二维离散型随机变量的概率分布为，； ⑷连续型随机变量的概率密度为,； ⑸连续型随机变量的概率密度为,； ⑹二维连续型随机变量的概率密度, . 2性质 ⑴； ⑵； ⑶； ⑷； ⑸若与相互独立，则； 问题2 叙述随机变量的方差的定义与性质. 答 随机变量的方差反映随机变量取值的离散程度. 1.定义 随机变量的方差，标准差. 2.性质 ⑴； ⑵； ⑶； ⑷若与相互独立，则； ⑸. 问题3 叙述随机变量的矩的定义. 答 随机变量的阶原点矩，阶中心矩. 显然，随机变量的数学期望是一阶原点矩，随机变量的方差是二阶中心矩. 问题4 如何求随机变量的数字特征？ 答 随机变量的数字特征是重点，也是常考点，读者务必在理解概念的基础上，熟练掌握计算数字特征的方法： ⑴利用定义（6个公式）⑵用性质，计算时，要充分利用独立性条件. 例 1.设随机变量在上服从均匀分布，令随机变量则方差 .【，提示：先求的分布，再利用公式】 2.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求： ⑴乙箱中次品数的数学期望； ⑵从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【⑴ ⑵】 3.设随机变量的概率密度为且已知，则 ， . 【提示：，】 4.设某种商品每周的需求量是服从区间上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可以从外部调剂供应，此时每 一单位商品仅获利300元,为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量. 服从区间上均匀分布，概率密度 设进货量为，则 当时，利润 当时，利润 故 利润期望值 令，解得 5.已知随机变量的概率密度函数，则 ， .【1；】 问题5 叙述协方差、相关系数的定义与性质 答 1.协方差 定义 随机变量与的协方差. 协方差具有如下性质： ⑴； ⑵； ⑶； ⑷； ⑸； ⑹； ⑺. 2.相关系数 相关系数刻画两个随机变量与的线性相关程度. 定义 随机变量与的相关系数. 若，则称随机变量 与不相关. 相关系数具有如下性质： ⑴； ⑵，特别：若，则当时，，当时，. 问题6 设，证明下列命题等价： ⑴与不相关； ⑵； ⑶； ⑷. 证 由知，命题⑴和⑵等价； 由知，命题⑵和⑶等价； 由知，命题⑵和⑷等价； 由等价关系的传递性知，这四个命题等价. 问题7 随机变量的独立性与相关性有何关系？ 答 若与独立，则与一定不相关. 证明如下：与独立，即与一定不相关. 若与不相关，则与不一定独立. 例如二维随机变量服从单位圆上的均匀分布，则和不相关，且与不独立. 注意 若与的联合分布为二维正态分布，则与独立的充要条件是与不相关. 例 1.设随机变量与独立同分布，且的概率分布为，，，，求与的协方差.【】 2.设独立且都服从，求的期望与方差.【】 3.对40个人的血液进行化验时，将每4个人并为一组化验一次，如果合格，则4个人只化验一次，若不合格，再对这组4个人逐个进行化验，共化验5次。若40个人中血液不合格率为，求化验次数的数学期望.【】 4.设为独立同分布的随机变量，且都服从，记，求 ⑴； ⑵与的协方差； ⑶.【⑴ ⑵ ⑶】 26