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第四章 弹性杆横截面上的切应力分析 ——教学方案 学 时 6 基 本 内 容 圆轴扭转时横截面上的切应力 圆轴扭转变形特征，变形协调方程，物理关系，静力学关系。 2、非圆截面杆扭转时横截面上的切应力，截面翘曲，切应力公式。 教 学 目 的 了解外力偶矩与功率、转速间的关系。 掌握圆轴扭转时横截面上的切应力公式及其应用。 了解矩形截面杆扭转时截面上的应力分布规律。 了解矩形截面梁、工字形截面梁的弯曲切应力的分布规律。掌握最大弯曲切应力的计算。 重 点、 难 点 重点：圆轴扭转时横截面切应力公式的建立及其分布规律。 难点：矩形截面梁弯曲切应力公式的推导。 教 学 方 法 用简单模型教具演示圆轴扭转变形的平面假定。 课外作业 4，5，9，11 第四章 弹性杆横截面上的切应力分析 对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有扭矩(Mx)或剪力(FQy或FQz)时，与这些内力分量相对应的分布内力，其作用面与横截面重合。这时分布内力在一点处的集度，即为切应力。 分析与扭矩和剪力对应的切应力的方法不完全相同。对于扭矩存在的情形，依然借助于平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力分析相似。对于剪力存在的情形，在一定的前提下，则仅借助于平衡方程。 本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁杆件的弯曲切应力分析。 §4-1圆轴扭转时横截面上的切应力 工程上将传递功率的构件称为轴，且大多数情形下均为圆轴。当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力偶作用时(图4-1)，其横截面上将只有扭矩一个内力分量，轴受扭时，其上的外扭转力偶矩Me（单位为Nm）与轴传递的功率P（单位为kW）和轴的转速n（单位为r/min）有如下关系： （4-1） 不难看出，受扭后，轴将产生扭转变形，如图4-2b所示。圆轴上的每个微元(例如图4-2a中的ABCD)的直角均发生变化，这种直角的改变量即为切应变，如图4-2c所示。这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现切应力(图中AB和CD边对应着横截面；AC和BD边则对应着纵截面)，分别用τ和表示。应用平衡关系不难证明： （4-2） 这一关系称为切应力互等定理或切应力成对定理。 平面假设及变形几何关系 变形协调方程 如图4-3a所示受扭圆轴，与薄圆筒相似，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面分成一个个小方格，可以观察到受扭后表面变形有以下规律： (1) 各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变； (2) 由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度，认为仍为直线；因而各小方格变形后成为菱形。 平面假设：变形前横截面为圆形平面，变形后仍为圆形平面，只是各截面绕轴线相对“刚性地”转了一个角度。从图4-3a取出图4-3b所示微段dx , 其中两截面pp,qq相对转动了扭转角d,纵线ab倾斜小角度成为ab’，而在半径()处的纵线cd根据平面假设，转过d后成为cd’,其相应倾角为（见图4-3c）。由于是小变形，从图4-3c可知：。于是 （4-3） 对于半径为R的圆轴表面（见图4-3b），则为 （4-4） 应用反对称性和反证法也可以从理论上证明：圆轴受扭后,其横截面依然保持平面,其上的各点只能在同一平面内转动，并且，受扭后圆轴横截面只发生刚性转动。通过扭转变形分析仍可以得到式（4-3），该式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的切应变与该点至截面中心之间的距离成正比。式(4-3)即为圆轴扭转时的变形协调方程。 2. 物性关系 剪切虎克定律 若在弹性范围内加载，即切应力小于某一极限值时，对于大多数各向同性材料，切应力与切应变之间存在线性关系，如图4-4所示。于是，有 (4-5) 上式即为剪切虎克定律 。 静力学方程 将式(4-3)代入式(4-4)，到 （4-6） 这表明，横截面上各点的切应力与点到截面中心的距离成正比，即切应力沿截面的半径呈线性分布（如图4-5，6），方向如图4-6a所示。 作用在横截面上的切应力形成一分布力系，这一力系向截面中心简化的结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭矩。于是有 （4-7） 此