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第2章 矩阵 一、内容解析 ⒈ 了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算． 矩阵的运算满足以下性质 ， ， ， ， ， 　　⒉ 了解矩阵行列式的概念，掌握方阵乘积行列式定理． 是同阶方阵，则有：． 若是阶行列式，为常数，则有：． 　　⒊ 了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质． 　　⒋ 理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件． 若为阶方阵，则下列结论等价 可逆满秩存在阶方阵使得 　　⒌ 熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程． 用初等行变换法求逆矩阵： 用伴随矩阵法求逆矩阵： （其中是的伴随矩阵） 可逆矩阵具有以下性质： ， ， 　　⒍ 了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩． 将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩． 二、典型例题 　　例1 填空题 　　（1）设均为n阶矩阵，其中可逆，则矩阵方程的解　　　　　　　． 　　（2）设二阶矩阵，其伴随矩阵　　　　　． 　　（3）设均为4阶矩阵，且，　　　　　． 　　（4）若为矩阵，为矩阵，为矩阵，则为　　　　矩阵． 解：（1）因为矩阵可逆，即存在，且由，得 在上式等号两边同时左乘和右乘，得 正确答案： （2）因为，，， 所以 正确答案： （3）== == 正确答案： （4）因为为矩阵，为矩阵，得为矩阵， 又因为为矩阵，所以为矩阵． 正确答案：， 例2 单项选择题 　　（1）由得到的矩阵中的元素（　 ）． 　　A. 53； B. 12； C. －26； D. 15 　　（2） （　 ）． 　　A. ； B. ； C. ； D. 　　（3）若是对称矩阵，则条件（　 ）成立． 　　A. ； B. ；　　 C. ； D. 　　（4）设均为阶方阵，则等式（ 　）成立． 　　A. ； B. ； 　　C. ； D. 解：（1）因为 左矩阵第3行的元素与右矩阵第2列相应元素的乘积之和 ==12 正确答案：B （2）因为， 所以 正确答案：A （3）由对称矩阵的定义可知，正确答案：C （4）因为 　 正确答案：B 例3设矩阵 ，求矩阵A． 　　解 因为 所以 例4 设矩阵A，B满足矩阵方程AX ＝B，其中， , 求X ． 解法一：先求矩阵A的逆矩阵．因为 所以 且 解法二： 因为 所以 例5 设矩阵，，试求A-1B． 解：因为 所以 　 且 例6 设是阶可逆矩阵，试证：． 证明：显然是可逆矩阵，由矩阵的运算性质可知 　　　　　 　　　　　 由此可知，证毕．　　　　 例7 设是阶矩阵，可逆，且，试证：． 证明：在的两端右乘，得 上式左端为 右端为 故有 　　　　 证毕． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例8 设是阶对称矩阵，试证：也是对称矩阵． 证明： 是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知 已知是对称矩阵，故有，即 由此可知也是对称矩阵，证毕． 5