第课一元二次方程根与系数的关系.docVIP

第8课 一元二次方程根与系数的关系 [考点透视] 不解方程，判定两个数是否为已知一元二次方程的两个根；求作以两个已知数为根的一元二次方程；已知两数的和与积，求这两个数；已知一元二次方程的一个根求其另一个根及未知系数；不解方程，求..等代数式的值（其中.为已知一元二次方程的根）；已知方程的两根满足某等量关系，求方程中字母系数的值；证明一元二次方程中系数间的等量关系；讨论一元二次方程根的符号及绝对值的大小. [课前回顾] 1.韦达定理：如果的两个根是.，那 ，其逆命题也成立. 2.以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 3.； ； 4.设方程的两根为； ①当两根同号；且两根同正号；且两根同负号；两根异号；且两根异号且正根的绝对值较大；两根异号且负根的绝对值较大. ②当两正的相等根；两负的相等根. [课堂选例] 例1 方程的一根是，求另一根及m的值. 分析 由方程根的定义，将代入方程中，转化为关于m的方程，求出m的值，然后求另一个根；也可用韦达定理直接求另一根. 解法一：将代入原方程，得，解得. 原方程变为，解得. 方程的另一根为3，m的值为-7. 解法二：设方程的另一根为，由韦达定理，得，解这个方程组，得 方程的另一个根为3，m的值为-7. 例2 已知关于的方程 有两个相等的实数根，是关于的方程的两个根，求以为根的一元二次方程. 解：关于的方程 有两个相等的实数根. ，解得. 当时，关于的方程化为，无实数解； 当时，关于的方程化为，解得. ， 为根的一元二次方程为. 例3 已知是关于的一元二次方程的两个实数根. （1）用含的代数式表示； （2）当时，求的值. 解：（1）由题设,得 . ， . （2）由（1），得.解这个方程，得.检验：当时，原方程没有实数根.舍去，当时，原方程有实数根. . 例4已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.. （1）求的取值范围. （2）为何值时,. 解：（1）由题意， 解得且. （2）由根与系数的关系得： ， ， ， ，解得.由①得：. 评注 （2）中利用韦达定理判断根的符号，分类去绝对值是解题的突破口. [课堂小结] 1.韦达定理是一无二次方程根与系数关系的本质体现，是解决相关问题的基础和出发点； 2.使用韦达定理的前提条件是二次项系数及判别式； 3.例2.例3（2）中运用了分类讨论的数学思想，例3（1）中使用了配方法. [课后测评] 一.选择题 1.一元二次方程与的所有实数根的和等于( ) A．2 B．-4 C．4 D．3 2.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角形的斜边长是( ) A． B．3 C．6 D．9 3.已知是的三条边的长，那么方程的根的情况是( ) A．没有实数根 B．有两个不相等的正实数根 C．有两个不相等的负实数根 D．有两个异号的实数根 二.填空题 4.如果关于的方程的两个实数根互为倒数，那么的值为 . 5.如果是方程的两个实数根，那么代数式的值是 . 三.解答题 6.已知方程的两根为，求代数式的值. 7.已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为.，且满足关系式，求这个一元二次方程. 8.已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且，求的值. 9.关于的方程①有两个相等的实数根. （1）求证：关于的方程②必有两个不相等的实数根； （2）若方程①的一个根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式的值. 3