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第4章 统计推断 4.1 样本与抽样分布（）总体与样本 总体：调查对象的全体叫总体。 样本：由总体中抽出的若干个体组成的集合叫样本。 统计量：样本的函数叫统计量。例如样本均值：= 和样本方差：S 2 = 都是统计量。 （）抽样分布 ① 抽样的基本概念前面介绍收集数据的方式有二种： 优点：对每一个个体都进行观测。 全面调查（普查） 要花费大量的时间，人力，物力，财力。 缺点： 对无限总体无法作普查。 容易出现观测误差。 节省资金、节省时间、精确度高。 优点： 抽样调查 对于只有用破坏性实验才能取得数据的总体只能采用抽样调查。 缺点：有抽样误差。 ② 样本的二重性：（1）样本特征在某种程度上反映了总体特征。（2）又不能完全精确地反映总体特征。 ③ 实际中要解决二个问题：抽样方法。怎样抽（包括方式和容量）才能更合理地反映总体。统计推断。怎样用样本对总体做出科学的推断。随机数表 对于有限总体：(1) n个随机变量与总体X有相同的概率分布。(2) 它们是相互独立的（对每个个体都进行独立观察）。(3) 要保证有限总体中每个可能的样本组合都有相等的概率被抽中。这种抽样方法称作简单随机抽样。如此得到的样本，称简单随机样本简称样本。 实践中怎样保证得到简单随机样本呢？只要样本容量n与总体容量N的比值( 0.05，则先建立抽样框，利用抽签或随机数表连续抽取n个个体就可近似看作为一个简单随机样本。简单随机抽样分有放回抽样，和无放回抽样。但一般采取无放回抽样。这种抽样的特点是每个个体被抽中的概率是不同的，但每个样本作为随机变量的组合被抽中的概率是相同的。 对于无限总体：常采用连续观测的方式获得样本。 （）样本平均数的抽样分布 ① 设 (x1, x2, …, xn) 是总体x ( N (( , ( 2 ) 的随机样本，=，则 ( N(( ,), U = ( N(0, 1) n ( ∞，( (，样本容量越大，离 ( 越近。 ② 当x不服从正态分布时，在n ( 30 条件下，依据中心极限定理可认为， 近服从正态分布N((,)U = 渐近服从N (0, 1) 从实际中看也是这样。例如有8042张发票面额的分组频数表显示该总体是非正态、右偏倚的（文件名：stat06），( = 20，( = 30图1）。以样本容量为 n =3，n = 10，n = 100 各抽取600次，得到关于的三个频数分布图。样本容量的 图1 发票面额的分组频数表 (( = 20，( = 30) 图2 n=3, n=10, n=100的抽样分布（=30.3） （） t分布 t分布密度曲线见图4.。t分布以纵轴对称，也呈钟形。当n为有限值时，t分布的峰值小于正态分布的峰值，而尾部要比正态分布的厚，即t分布呈低峰厚尾特征。当t ( (，t分布趋近于标准正态分布。实际中，当n 30，t分布就很近似于标准正态分布。 t分布的均值和方差分别为 E(t(n) ) = 0 Var(t(n) ) = n / (n -2), n 2 图4. t分布密度曲线 （）样本平均数的分布。 t = ( t(n –1) 如果减均值除以的样本标准差，则统计量服从(n –1)个自由度的t分布。当t分布的自由度在30以上时，t分布已经很接近标准正态分布。 学习查t分布表。t0.95(30) = 1.70 （）F分布 图4. F分布密度曲线 服从F分布的密度曲线见图4.。F分布密度曲线是单峰的，右偏倚的。随着自由度n1和n2的加大，F分布的众数趋近于1。F分布的分布密度曲线随二个自由度的不同而不同。 学习查F分布表。F0.5 (5, 30) = 2.16。 (7) 样本比率的抽样分布 设容量为N的总体中，具有某种性质的元素数为X个，则关于具有这种性质的元素数的总体比率是 p = 若从该总体中抽取容量为n的样本，具有该种性质的元素数为x，则关于该种元素的样本比率是 = E() = E(x) =n p = p Var() =Var (x) == 对于大样本（n p ( 5, n (1- p) ( 5）依据中心极限定理近似有如下关系成立。 ( N( p, ) 或 = ( N(0, 1) 4. 参数估计 举几个实际例子