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综合问题习题 综-1 滑块M的质量为m，在半径为R的光滑圆周上无摩擦地滑动。此圆周在铅直面内，如图所示。滑块M上系有一刚性系数为k的弹性绳MOA，此绳穿过光滑的固定环O，并固结在点A。已知当滑块在点O时线的张力为零。开始时滑块在点B，处于不稳定的平衡状态；当它受到微小振动时，即沿圆周滑下。试求下滑速度v与角的关系和圆环的支反力。 解：滑块M在下降至任意位置时的运动分析及受力分析如图（a）所示。滑块M在下降过程中v与的关系可由动能定理确定： 解得 （1） 滑块M的法向运动微分方程为 把式（1）代入上式，化简得 综-3 一小球质量为m，用不可伸长的线拉住，在光滑的水平面上运动，如图所示。线的另一端穿过一孔以等速v向下拉动。设开始时球与孔间的距离为R，孔与球间的线段是直的，而球在初瞬时速度v0垂直于此线段。试求小球的运动方程和线的张力F（提示：解题时宜采有极坐标） 解：设小球在任意瞬时的速度为v1，由于作用于小球的力对小孔O之矩为零，故小球在运动过程中对点O的动量矩守恒。即 由题意 r = R - vt 得小球在任意瞬时绕小孔O转动的角速度为 即 两边求积分得 故小球的运动方程为 r = R - vt 而线的张力为 综-5 图示三棱柱A沿三棱柱B光滑斜面滑动，A和B的质量各为m1与m2，三棱柱B的斜面与水平面成角。如开始时物系静止，忽略摩擦，求运动时三棱柱B的加速度。 解：1）以A及B为系统，由于作用于该系统上的外力无水平分量，因此该系统在水平方向动量守恒。即 两边求导得： （1） 2)以B为动系分析A的运动。如图（a）。 根据 aA = ae + ar = aB + ar （2） （3） 3）对A进行受力分析及运动分析，如图（b），建立质点运动微分方程 由式（2）、（3）消去ar得 把式（1）代入上式得，， 再把该式与式（1）代入式（4）、（5）中消去FN，解得 （方向向左） 综-7 图示圆环以角速度绕铅直轴AC自由转动。此圆环半径为R，对轴的转动惯量为J。在圆环中的点A放一质量为m的小球。设由于微小的干扰小球离开点A。圆环中的摩擦忽略不计，试求小球到达点B和点C时，圆环的角速度和小球的速度。 解：整个系统在运动过程中对转动轴动量矩守恒，机械能也守恒。 设小球至B位置时圆环绕AC轴转动角速度为，小球至C位置时圆环角速度为，又设小球在最低位置为零势能点。 1）A至B过程 动量矩守恒： （1） 机械能守恒 （2） 把式（1）代入式（2）解得 2）A至C过程 动量矩守恒 机械能守恒 如果确定小球在位置B时相对于圆环的速度vBr，则从速度分析知vBr垂直向下，vBe垂直于图面向里，且vBe故 综-9 图示为曲柄滑槽机构，均质曲柄OA绕水平轴O作匀角速度转动。已知曲柄OA的质量为m1，OA = r，滑槽BC的质量为m2（重心在点D）。滑块A的重量和各处摩擦不计。求当曲柄转至图示位置时，滑槽BC的加速度、轴承O的约束反力以及作用在曲柄上的力偶矩M。 解：曲柄OA和滑槽BC、滑块A的受力分析与运动分析分别如图（a）、（b）和（c）所示，其中p ( x )表示在BC在槽上受到的分布力但我们不求这些力。建立如图所示坐标系Oxy。 1）求BCD的加速度及水平力。选取BC为动系，OA曲柄上滑块A为动点，A点加速度分析如图（c）所示。 根据加速度合成定理 aa = ae + ar 由于 故 根据质心运动定理，由图（b）得滑槽BC的运动微分方程 2）求轴承O的动反力及作用在曲柄OA上的力矩M 曲柄OA的质心在E点，E点加速度的方向沿曲柄OA方向，且指向O点（见图a），其大小为 根据质心运动定理及刚体绕定轴转动微分方程 （1） （2） (3) 将 及= 0 代入方程（1）、（2）、（3）中，解得 轴承动反力 作用在曲柄OA上的力矩 综-11 图示均质杆长为2l，质量为m，初始时位于水平位置。如A端脱落，杆可绕通过B端的轴转动、当杆转到铅垂位置时，B端也脱落了。不计各种阻力，求该杆在B端脱落后的角速度及其质心的轨迹。 解：（一）B脱落前瞬时 B脱落后杆以此角速度在铅直面内匀速转动。 （二）B脱落后瞬时 B脱落后杆质心作抛体运动 （1） （2） 式（1）、（2）消去t，得 即 此即所求脱落后质心的运动