罗巨格公式的推导过程!.docVIP

关于罗巨格公式 的证明。 关于函数的零点和极点的定理。 设在围道内除有限个极点外是解析的，是在内的零点，在上，又是内及上的解析函数，则 （1） 其中和分别是零点和极点的阶；积分是沿的正向一周（逆时针）。 证明 按柯西（Cauchy）定理 （2） 和分别表示积分路线是正向饶点和点一周的围道，每一个这样的围道内只含有一个零点或极点。 在的邻域内 ， 因此 由于在的邻域内是解析的，且，故只要围道够小，在其中也是解析的，含它的项对（2）式中积分的贡献为零。因此，按残数定理有 （3） 同样，在在的邻域内 ， 因此 由于在的邻域内是解析的，且，故只要围道够小，在其中也是解析的，含它的项对（2）式中积分的贡献为零。因此，按残数定理有 （4） 把（3）和（4）的结果代入（2）中，即得（1）。 令，得（1） 式的一个重要特殊情形： （5） 其中是在内的零点个数，是在内的极点个数；重零点和重极点须按阶数计算其个数。 如果和在围道上及内无奇点，则而有 （6） 拉格朗日定理 设和在围道上及内是解析的，为内一点。如果对于上的点，参数满足 （7） 则（i）方程 （8） 在内有一根而且只有一根；当时此根趋于。（ii）函数可以依的幂展开为 （9） 这公式称为拉格朗日展开公式。 先证明（i）。应用公式（6）于函数 ， 注意条件（7），得在内的零点的个数 由于 因为 所以 即在内有而且只有一个根。 再来证明（ii）。设是方程（8）在内的唯一根，用公式（1）有 但另一方面 因为 所以 因此有（9）式。 例 设，则方程，即的根为 取围道：内只有其中一个根。当时，。于是，按拉格朗日定理，令，得 两边对求微商，得展开式 上式的左边是勒让德函数的生成函数： 即得罗巨格公式 （10）