角动量本征方程的解.docVIP

第09-11讲 角动量本征方程的解 角动量和角总动量算符的回忆 刚体转子的薛定谔方程中因此方程即是 (Ⅱ-1( 整理后得 (Ⅱ-2( 其中且 , . 式(Ⅱ-2(也是角动量的本征方程。为了方便求解方程，采用球极坐标的形式，球坐标与直角坐标的变换关系 (r:0(() ((:0(() ((:0(2() (Ⅱ—3) 逆变换关系是 (Ⅱ—4) 于是有偏微商关系 则得 同法得 (Ⅱ---5) (Ⅱ—6) 方程（Ⅱ—2）即为 - (Ⅱ---7) 其中常数 。用分离变量法，令 (Ⅱ----8) 代入方程式（Ⅱ---7）并移项整理后得 (Ⅱ—9) 上式左右两边分别是独立变量(和(的函数，要等式成立它们都应等于同一常数，令此常数为C。即得两个独立的全微分方程 (Ⅱ---10) (Ⅱ---11) 先讨论含变量(的方程(Ⅱ---11)，方程移项得 (Ⅱ---12) 这是一个常系数二阶常微分方程，其解为 (Ⅱ---13) 根据周期性边界条件，即要求 所以 因此 代入关系式，得归一化常数为 ,于是 (Ⅱ---14) 以上是解的复数形式，如果对m相同的解进行线性组合就可得到另一套实数形式的解，即 m=0 m(0 (Ⅱ---15) 利用关系式C=㎡，就可求解含变量(的方程(Ⅱ---10)，即 移项后 (Ⅱ---16) 作变量交换，令 (Ⅱ---17) 利用 和关系式(Ⅱ---17)，(Ⅱ---16)式变成 (Ⅱ---18) 上式称为关联勒让德方程。当m=0时称为勒让德方程： (Ⅱ---19) 先讨论式(Ⅱ---19) 勒让德方程的解。因为z=cos(,而0((((，所以-1(z(1,因为可在z=0的领域将P(x)用幂级数展开，然而用级数法求解，即 (Ⅱ---20) (Ⅱ---20’) (Ⅱ---20’’) 代入方程 (Ⅱ---19)，如果 (Ⅱ---20)是方程的解，则方程就变成恒等式， 那么恒等式中z的任意次幂的系数都应等于零。对于的系数，应有 于是得到系数的递推关系式 (Ⅱ---21) 因为波函数的标准化条件要求P(z)在区间-1(z(1上应是收敛的，即级数P(z)应该是一个有限项的多项式。从式可知只有取为一个特殊值