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内容提要
1. 圆的旋转不变性
圆是轴对称图形。也是中心对称图形。不论绕圆心旋转多少度,都能够和原来的图形重合。
圆所特有的性质——圆的旋转不变性
圆绕圆心旋转任意一个角度α,都能够与原来的图形重合。
2. 圆心角,弦心距的概念.
顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧AB是∠AOB所对的弧,弦AB既是圆心角∠AOB也是弧AB所对的弦.
圆心到弦的距离叫做弦心距。
3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
同样还有:
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都也相等。
4. 1°的弧的概念. (投影出示图7-59)
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
这里指的是角与弧的度数相等,而不是角与弧相等。即不能写成圆∠AOB=,这是错误的。
【典型例题】
例1. 判断题,下列说法正确吗?为什么?
(1)如图所示:因为∠AOB=∠A′OB′,所以=.
(2)在⊙O和⊙O′中,如果弦AB=A′B′,那么=。
分析:(1)、(2)都是不对的。在图中,因为不在同圆或等圆中,不能用定理。对于(2)也缺少了等圆的条件. 可让学生举反例说明。
例2. 已知:如图所示,AD=BC。
求证:AB=CD。
证:∵AD=BC
变式练习。已知:如图所示,=,求证:AB=CD。
证:∵
例3. 在圆O中,
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC
证:
例4. D、E是圆O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA、CE⊥OB,CD=CE,则与的关系是?
证:连CO
∵DC⊥AD,CE⊥OB
CD=EC
∠1=∠2
例5. 已知AB为圆O直径,M、N分别为OA、OB中点,CM⊥AB,DN⊥AB。求证:。
法一:连结OC、OD,则OC=OD
∵OA=OB,且
在Rt△CMO与Rt△DNO中
法二:连AC、DB、CO、DO
且AM=MO,ON=NB
∴AC=OC,OD=DB
法三:由法二
∴AC=CO=AO
OD=OB=DB
∴∠AOC=∠BOD=60°
例6. CD为圆O直径,以D为圆心,DO为半径画弧,交圆O于A、B。
证:△ABC为等边三角形
证:连AC、BC、AO、BO、AD、BD
∵AO=OD=AD
∴∠1=60°
同理∠2=60°
∴∠AOB=120°
∵CD为直径
∴∠AOC=∠COB=120°
∴∠AOC=∠COB=∠AOB
∴AB=AC=BC
∴△ABC为等边三角形
例7. AB、CD为圆O两直径,弦CE//AB,,求∠BOD。
解:,∴∠COE=40°
∵OC=OE
∴∠C=∠E=70°
∵CE//AB
∴∠BOC=∠C=70°
∵∠BOD+∠BOC=180°
∴∠BOD=180°-70°=110°
例8. 证明:在同圆或等圆中,相等的弦所对的弦心距相等。
已知:在圆O中,AB=CD,OE⊥AB,OF⊥CD
求证:OE=OF
证:∵OE⊥AB,OF⊥CD,OF、OE过圆心
∵OC=OB
∴OE=OF
例9. 点O在∠EPF的平分线上,圆O与∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D,求证AB=CD。
法一:作OM⊥PE,ON⊥PF
连接OC、OA
∵OP为∠EPF的平分线
OM⊥PE,ON⊥PF
∴OM=ON
∵OA=OC
∵OM、ON过圆心
OM⊥AB,ON⊥CD
∴AB=2AM
CD=2CN
∴AB=CD
法二:由法一,OM=ON
∴AB=CD
例10. 圆O中弦AB、CD相交于E,且AB=CD
求证:DE=BE
法一:连结AD、BC、AC
∵AB=CD,
即
在△ACD和△CAB中
在△AED和△CEB中
法二:连DB、AD、BC
证
∴∠3=∠4
∴ED=BE
例11. 在圆O中,AC=DB,求证:
证:连接OA、OB
∵OA=OB,∴∠A=∠B
∴∠AOC=∠BOD
例12. 圆O的直径AB=10cm,长是圆O的六分之一,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F。
(1)求证:EC=FD
(2)求AE+BF
证:(1)作OM⊥EF
∵AE⊥CD,BF⊥CD
∴AE//BF
∵O为AB中点,
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