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讲义弧弦圆心角例题及答案 基础知识.docVIP

讲义弧弦圆心角例题及答案 基础知识.doc

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  内容提要 1. 圆的旋转不变性   圆是轴对称图形。也是中心对称图形。不论绕圆心旋转多少度,都能够和原来的图形重合。 圆所特有的性质——圆的旋转不变性 圆绕圆心旋转任意一个角度α,都能够与原来的图形重合。  2. 圆心角,弦心距的概念.   顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧AB是∠AOB所对的弧,弦AB既是圆心角∠AOB也是弧AB所对的弦.    圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。 同样还有: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都也相等。 4. 1°的弧的概念. (投影出示图7-59) 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 这里指的是角与弧的度数相等,而不是角与弧相等。即不能写成圆∠AOB=,这是错误的。 【典型例题】 例1. 判断题,下列说法正确吗?为什么?   (1)如图所示:因为∠AOB=∠A′OB′,所以=. (2)在⊙O和⊙O′中,如果弦AB=A′B′,那么=。   分析:(1)、(2)都是不对的。在图中,因为不在同圆或等圆中,不能用定理。对于(2)也缺少了等圆的条件. 可让学生举反例说明。 例2. 已知:如图所示,AD=BC。   求证:AB=CD。 证:∵AD=BC 变式练习。已知:如图所示,=,求证:AB=CD。 证:∵ 例3. 在圆O中, 求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC 证: 例4. D、E是圆O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA、CE⊥OB,CD=CE,则与的关系是? 证:连CO ∵DC⊥AD,CE⊥OB CD=EC ∠1=∠2 例5. 已知AB为圆O直径,M、N分别为OA、OB中点,CM⊥AB,DN⊥AB。求证:。 法一:连结OC、OD,则OC=OD ∵OA=OB,且 在Rt△CMO与Rt△DNO中 法二:连AC、DB、CO、DO 且AM=MO,ON=NB ∴AC=OC,OD=DB 法三:由法二 ∴AC=CO=AO OD=OB=DB ∴∠AOC=∠BOD=60° 例6. CD为圆O直径,以D为圆心,DO为半径画弧,交圆O于A、B。 证:△ABC为等边三角形 证:连AC、BC、AO、BO、AD、BD ∵AO=OD=AD ∴∠1=60° 同理∠2=60° ∴∠AOB=120° ∵CD为直径 ∴∠AOC=∠COB=120° ∴∠AOC=∠COB=∠AOB ∴AB=AC=BC ∴△ABC为等边三角形 例7. AB、CD为圆O两直径,弦CE//AB,,求∠BOD。 解:,∴∠COE=40° ∵OC=OE ∴∠C=∠E=70° ∵CE//AB ∴∠BOC=∠C=70° ∵∠BOD+∠BOC=180° ∴∠BOD=180°-70°=110° 例8. 证明:在同圆或等圆中,相等的弦所对的弦心距相等。 已知:在圆O中,AB=CD,OE⊥AB,OF⊥CD 求证:OE=OF 证:∵OE⊥AB,OF⊥CD,OF、OE过圆心 ∵OC=OB ∴OE=OF 例9. 点O在∠EPF的平分线上,圆O与∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D,求证AB=CD。 法一:作OM⊥PE,ON⊥PF 连接OC、OA ∵OP为∠EPF的平分线 OM⊥PE,ON⊥PF ∴OM=ON ∵OA=OC ∵OM、ON过圆心 OM⊥AB,ON⊥CD ∴AB=2AM CD=2CN ∴AB=CD 法二:由法一,OM=ON ∴AB=CD 例10. 圆O中弦AB、CD相交于E,且AB=CD 求证:DE=BE 法一:连结AD、BC、AC ∵AB=CD, 即 在△ACD和△CAB中 在△AED和△CEB中 法二:连DB、AD、BC 证 ∴∠3=∠4 ∴ED=BE 例11. 在圆O中,AC=DB,求证: 证:连接OA、OB ∵OA=OB,∴∠A=∠B ∴∠AOC=∠BOD 例12. 圆O的直径AB=10cm,长是圆O的六分之一,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F。 (1)求证:EC=FD (2)求AE+BF 证:(1)作OM⊥EF ∵AE⊥CD,BF⊥CD ∴AE//BF ∵O为AB中点,

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