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摘要 定积分在生活生产中的应用可谓非常广泛。定积分应用于几何、物理、机械制造、航天事业、国民经济等等，给我们的日常生活带来诸多方便，也给我们的生产带来巨大的经济效益。 随着我国“科教兴国“策略的提出和实施，更把定积分的应用推到了一个顶峰。很多领域，教育、书籍、都讲解、介绍、研究定积分的应用。在未来的发展中，定积分的应用也不会随着社会而被滞后，将会用于更多的领域。 关键词：定积分，应用，物理，航天事业，国民经济。 引言 现代微积分起源于两个古老的问题。一个是求已给曲线的切线问题，我们讲过这个问题到了十七世纪的时候才解决（由牛顿和莱布尼茨完成），其结果产生了微分学。另一个是求曲线围成的面积问题。这个问题导致了积分学的形成。 现在还不清楚求曲线围成面积的研究是从什么时候开始的。1858年研究埃及古物的苏格兰人亨利·莱茵德发现了一份残存的纸草纸手稿。人们称它为莱茵德纸草稿中由埃及人阿迈斯抄下的85个问题。抄下的年代大约是公元前1650年。阿迈斯说他是从更早的手稿中抄下来的。在这85 个问题的第50题中，阿迈斯取边长为8的正方形面积做直径为9的圆的面积。若把他的计算与现在使用的圆面积公式相比较，我们得到 （根据阿迈斯的计算） 于是 可见，埃及人在公元前1650年以前就已经世纪使用了 。也即，他们近4000年以前就会用公式 来计算圆的面积了。 在古希腊，人们致力于寻找计算比圆和矩形更复杂的图形由曲线围成的面积方法。叙拉古的阿基米德找到计算多种曲线所围成面积的方法。很多人认为它是历史上最伟大的数学家，我们来看一下A（如图）的计算。 这A由，x轴和直线x=1围成。他称自己所用的方法为无限细分法，做法是用曲线下得及超出去线的两类矩形从两边去逼近这个A。有抛物线的方程得知。每一个矩形的高都是y，如果S表示图（a）中的矩形的面积之和，用s表示（b）中的矩形面积之和，则 阿基米德懂得矩形的数目越多，近似程度就越好。用他的无限细分法，阿基米德证明了： 如果A1/3，则可以利用超出曲线的矩形可以得出矛盾； 如果A1/3，则可以利用曲线下的矩形可以得出矛盾； 由此，他得出A=1/3。 在阿基米德里程碑性的工作之后许多年，无限细分才被推广成了积分学体系。而这种计算面积的方法就叫做积分法。积分符号是拉长的的文字母S，是莱布尼茨在十七世纪首先使用的。 一·定积分的定义 设f(x)是定义在上的函数，在任意插入若干个分点（这里插入n-1个）， 来划分区间，在每一个部分区间中任取一点作和式 其中中最大的数，即 ，i = 1,2,3…..n 当 I= 且此极限值不依赖于的选取，也不依赖于的分法，就称此极限值为f(x)在上的定积分，记为 数a和b分别成为积分下限和积分上限。和式称为f(x)的积分和，因为在历史上黎曼首先以一般形式给出这一定义，所以也称黎曼和，也叫做黎曼积分。我们规定： 二·定积分的计算 1·定积分计算的基本公式 定理1、若f(x)在上连续，则函数在上可导，且 这一结果说明，变上限的定积分正是被积函数的一个原函数。 （1）基本公式：设在上连续，是的任意一个原函数，即 ，那么 常用记号，于是，定积分的基本公式又可写成 ， 此公式叫牛顿—莱布尼茨公式。 (2)定积分的换元公式 定理2、设在上连续，做代换，其中在闭区间上有连续的导数，当时，，则 。 （3）定积分的分部积分公式 若在连续，则 三·定积分的应用 (1).平面图形的面积 一般的，如果一块图形是由连续曲线所围成，并且在上，如图， 那么，这块图形的面积A的计算公式为 若所给的曲线方程为参数形式 其中，，设随t的增加而增加，且在连续，那么曲线所围成的面积A的计算公式为 若所给坐标为极坐标方程， . 则 如果要求出由射线及两条连续曲线所围成的图形的面积（如图），则此图形的面积计算公式为： 平面图形面积应用与物理 设以可变电容器动片的边缘是阿基米德螺线。计算电容器是需要知道动片的一部分面积S。（即图中AOBMNA的面积），已知OA长为，OC长为。取极坐标如图， 则的方程为： 于是 特别地，取就得到整块动片的面积，为 平面图形的面积应用与经济问题 设是产品的需求函数。一个典型的需求函数如图所示。有一个点，再次点出需求已完全满足，产品不再卖得出去。类似