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课题:柯西不等式 江苏通州高级中学 薛国钧 教学目标： 1、知识与技能：使学生掌握柯西不等式及其应用，了解柯西不等式的证明过程，培养推理能力。 2、过程与方法：探索柯西不等式的证明过程，体会构造法证明不等式的方法及特殊到一般的方法。 3、情感态度与价值观： 通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点. 教学重点：柯西不等式的应用 教学过程： 一、问题情景： 问题1. 证明不等式：① ② 问题2. 证明不等式： 证明： 问题3.你能推广到一般结论吗？ 二、建构数学 柯西不等式：对于实数有下面不等式 或 ① （当且仅当取等号 若 柯西不等式明显成立 若至少有一个 构造二次函数 -2( + = 当且仅当 推论1：， 推论2： 个实数平方均数大于等于算术平均数 推论3：①中令 则有 ② 三、数学应用 例1：已知 求证： 证明： 柯西不等式 所以 所以 例2：设求的最小值. 解： 当且仅当取等号 时有最小值 问题4.设是正实数，求 在条件 的最小值。 问题5.实数。求的最大值 答：问题4 ： 取等号的条件 问题5：方法一： 当，有最大值 方法二： 令 例3：.若不等式＋≤k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．（2009江苏数学竞赛） 解：由Cauchy不等式，(＋)2≤(＋1)(2x＋y)． 即(＋)≤对一切正实数x，y成立． 当k＜时，取x＝，y＝1，有＋＝，而k＝k＜×＝．即不等式不能恒成立． 而当k≥时，由于对一切正实数x，y，都有＋≤≤k，故不等式恒成立． ∴ k∈[，＋∞)． 问题6：有其他方法吗？ 例4.设都是正数,且 求 证:≥ 分析: ② 解 : 根据柯西不等式 [] ≥=1 ∴ ≥ ≥ 四、数学巩固: 练习 1. 实数满足 求的最小值。 分析： 所以最小值是 练习2．实数满足 求证： 分析：利用： = （i=1,2,3n） 练习3. 若不等式＋≤k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．（2009江苏） 解法一：显然k＞0．(＋)2≤k2(2x＋y)((2k2－1)x－2＋(k2－1)y≥0对于x，y＞0恒成立． 令t＝＞0，则得f(t)＝(2k2－1)t2－2t＋(k2－1)≥0对一切t＞0恒成立． 当2k2－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k2－1＞0． 此时当t＝时，f(t)取得最小值－＋k2－1＝＝． 当2k2－1＞0且2k2－3≥0，即k≥时，不等式恒成立，且当x＝4y＞0时等号成立． ∴ k∈[，＋∞)． 解法二：显然k＞0，故k2≥＝．令t＝＞0，则k2≥＝(1＋)． 令u＝4t＋1＞1，则t＝．只要求s(u)＝的最大值． s(u)＝≤＝2，于是，(1＋)≤(1＋2)＝． ∴k2≥，即k≥时，不等式恒成立(当x＝4y＞0时等号成立)． 又：令s(t)＝，则s((t)＝＝，t＞0时有驻点t＝．且在0＜t＜时，s((t)＞0，在t＞时，s((t)＜0，即s(t)在t＝时取得最大值2，此时有k2≥(1＋s())＝． 五、小结： 关键词 ①结构 ②构造 ③特殊到一般 六、作业: 高中数学竞赛标准课程