调和点列性质.docVIP

调和点列 　　研究图形在射影变换下不变性的一个几何学分支。射影几何学产生的最初动力，来自为了帮助绘画而对透视进行的研究。在17世纪，G.德扎格和B.帕斯卡建立了射影几何学中著名的定理。后来在19世纪，又经过J.V.彭赛列、J.施泰纳、K.G.C.von施陶特、A.F.麦比乌斯、A.凯莱等几何学家的工作，使射影几何学得到蓬勃的发展，达到鼎盛的时期。 定义：直线上依次四点A、B、C、D满足，则称A、B、C、D四点构成调和点列。其中A、C和B、D称为调和共轭。 性质1：如图，A为圆O外一点，AB、AC为圆O的切线，ADEF截圆O与D、F，交BC与点E 则A、D、E、F四点调和。 证明: ① 又 而 故①成立。得证！ 推广：如图，椭圆外一点A关于椭圆的两条切线的切点所在的直线为BC（此直线也叫极线），过A的任意一条直线ADEF截椭圆于D、F，交BC与E 则A、D、E、F成调和点列。 证明：暂略。 性质2： 证明： 而 即证。 推论：已知A、B、C、D四点调和，O为A、C中点，则. 反过来也成立，若A、B、C、D四点共线，O为A、C中点，且，则A、B、C、D四点调和。 性质3：若A、B、C、D成调和点列，且平面上有点M满足 则必有MC平分，MA外角平分. 这是调和点列应用中相当重要的一个性质。 证明：反证法。 反设MC不平分，作MC’平分角交BD与C’，MA’外角平分角交DB延长线与A’ ，则 由内角平分线定理， 有外角平分线定理， 所以② 由A、B、C、D成调和点列知 注意到成立 成立 所以 与②矛盾！ 所以MC平分，MA外角平分