轴对称变换的实际应用.docVIP

《轴对称变换的实际应用》 北京市北方交大附中 牟柏林 教材：人教版《义务教育课程标准实验教材》八年级上册第14.2.1第2节． 教 学 目 标 1．CCTV关于“西气东输”的新闻报道. 问题1 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短? 2. 引导探究 探究中学生可能遇到如下问题： ①实际问题数学化；②对“线段和最小”的理解；③如何想到用轴对称变换求解问题. （1）实际问题数学化 如图，已知点A、B在直线l的同侧.在l上找点P，使PA+PB最小. （2）对“线段和最小”的理解 在直线l上任取两点P1、P2，通过度量，比较AP1+BP1与AP2+BP2的大小. （3）对画图找点的引导 辅助问题： 如图，已知点A、B在直线l的异侧，在l上找点P，使PA+PB最小. 解略. （4）求解问题1 解：作点B关于直线l的对称点B1，连接AB1，AB1与直线l交于P，点P即为所求. 理由：如图，由轴对称性质BP=B1P，所以AP+BP=AP+B1P，当A、P、B1三点共线时AB1最短，所以P点为所求. 3．数学思考 （1）推理证明的落实 如果P1是异于点P的一点，你能证明AP1+BP1 AP+BP吗？ 证明：连接B1P1. 由轴对称性质， BP1=B1P1，BP=B1P. 所以 AP1+BP1=AP1+ B1P1， AP+BP=AP+ B1P =AB1， 在△AP1B1中，AP1+B1P1AB1， 即 AP1+BP1 AP+BP. （2）对解法的反思 轴对称变换在解决问题中所起的作用是什么呢？“实现了线段长度的等量转化，将直线同侧两定点问题转化为直线异侧两定点问题. ” 学生阅读思考、尝试独立求解. 教师巡视，观察学生解决问题的过程与方法，并适时引导. 多数学生能将管道画成直线，城镇画成点，教师给予肯定的同时，引导学生结合图形用符号语言表述问题. 教师引导对“线段和最小”理解不透的学生选点画图，度量比较发现其值不等之后，再利用几何画板进行动态演示. 对于如何找点没有思路的学生，教师给出辅助问题，解决后再思考问题1的解法. 学生陈述解法并说明理由，同时教师强调也可以通过作点A关于直线对称点来求解. 教师再利用几何画板对点P进行验证. 学生思考，讨论交流. 教师引导学生利用轴对称变换性质和三角形三边关系完成证明. 学生思考后作答， 教师再归纳提升. 选用“西气东输”作为背景，引导学生关注国家大事. 学生已有一些解决实际问题的经验，放手让学生做，培养他们的探究意识和能力. 使学生明确将实际问题数学化是解决实际问题的第一步，同时注意规范表述. 使学生透彻理解“线段和最小”的含义. 设置辅助问题为问题1的解决作铺垫. 帮助学生体会轴对称变换在解决问题中的转化作用. （三） 拓 展 应 用 （三） 拓 展 应 用 问题2 如图，公园内两条小河汇合，两河形成的半岛上有一处古迹P，现计划在两条小河上各修建一座小桥，并在半岛上修三条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，使所修建的道路最短？ 1. 实际问题数学化 如图，P为∠MON内一定点，分别在OM与ON上找点A、B，使△ABP的周长最小. 2. 问题求解 解：作点P关于OM、ON的对称点P1、P2，连接P1P2 ， P1P2与OM、ON分别交于A、B，点A、B即为所求. 3. 对解法的反思 在解决问题过程中，轴对称变换起到了什么作用？ “利用轴对称变换实现了线段长度的等量转化. ” 问题3 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后牵马回到帐篷，请你帮他确定这一天所走的最短路线. 1. 实际问题数学化 如图，已知∠MON内有两定点A、B，分别在OM和ON上各点C、D，使AC+CD+BD最小. 2. 问题的求解 解：作点A关于OM的对称点A1，作点B关于ON的对称点B1，连接A1B1， A1B1与OM、ON分别交于点C、D，则此时AC+CD+BD最小. 学生读题，尝试独立求解. 教师巡视指导. 学生在画图找点过程中遇到困难