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过江索道的设计 摘要 山区的农民过江时使用过江索道，由于设计问题，当滑到终点时速度还很快这将会使造成危险，因此合理设计过江索道和安全过江策略有着重要的现实意义，本文根据题目所给的条件和要求，分别建立了三个数学模型，求出对应的过江索道和安全过江策略。 对于问题一：不考虑钢索的重量，如果钢索不是一条直线，那么滑下后不能到达点，所以认为钢索是一条平直的直线，已知落差与水平距离，用勾股定理可求得钢索的长度，过江时不计阻力，要使滑到终点时速度为，根据能量守恒定理列出关系式，求解出用草时滑过的距离即安全过江策略。 对于问题二，考虑钢索的重量，可将索道线性看为悬索线，以下支点为原点建立坐标系，求出悬索线的方程，用弧长公式求积分，得出钢索的长度，过江时不考虑阻力作用，但由于考虑钢索的重量，弦顷角会不断改变，用积分的知识，根据能量守恒得定理，求出用草时滑过的距离即安全过江策略。 对于问题三，考虑钢索的重量，索道为悬链线，由问题二已求出钢索长度，过江时考虑阻力的作用，根据能量守恒，开始的重力势能完全转化为阻力和用草时摩擦力所做的功，由于钢索有重量，弦顷角不断变化，并加上阻力的作用，运用能量守恒定理列出关系式，求出安全过江策略。 关键词：过江索道 能量守恒 摩擦力做工 问题重述 我们经常可以从电视看到这样的景象，山区的农民过江时使用过江索道。由于设计问题，当滑到终点时速度还很快，所以我们看到人们在过江时手中会握着一把草用于快到终点时减速。 现要求设计一个过江索道，条件及要求如下。 落差为，水平距离为。假设人从点出发，人用草减速时，摩擦系数为。要求滑到终点时，速度降为。 思考解决以下问题： 问题一：不考虑阻力和钢索的重量的情况下，合理设计你的过江索道和安全过江策略 问题二：考虑钢索的重量，不考虑阻力的情况，合理设计你的过江索道和安全过江策略 问题三：考虑钢索的重量和阻力的情况，合理设计你的过江索道和安全过江策略 问题分析 对于问题一：在不考虑阻力与钢索重量的情况下，认为钢索是一条平直的直线，已知落差与水平距离，用勾股定理可求得钢索的长度，过江时不计阻力，要使滑到终点时速度为，根据能量守恒，开始的重力势能完全转变为用草减速时的摩擦力所做的工，从而求出最佳的减速点即何处用草。 对于问题二：考虑钢索的重量的情况下，在索道的设计计算中，人们公认索道的准确线形是悬链线，以下支点为原点，建立直角坐标系，求出悬链线的方程，再用弧长公式求出钢索的长度，由于考虑了钢索的重量，过江时弦顷角不断在改变，计算摩擦力做工时，把角度化为无数个段进行加和求解，可求出用草减速的最佳位置。 对于问题三：考虑钢索的重量，索道的线性也为悬索线，由模型二已求出了考虑钢索重量下的悬索线长，过江时考虑阻力的作用，由于钢索有重量，弦顷角不断变化，并加上阻力的作用，运用能量守恒定理，求出安全过江策略。 符号说明 表一：符号说明表 符号 说明 用草时人滑过的距离 钢索的长度 弦顷角 悬链线上用草的位置 悬链线与水平面的夹角 悬链线的水平张力 注:还有一些变量没写出，会在模型建立中一一定义 模型假设 假设一：假设过江时均没有刮大风，下大雨情况； 假设二：钢索在负重时不变形； 假设三：所有人均能安全过江； 假设四：钢索是理想柔性的，不受压不受弯； 假设五：钢索的自重沿曲线均匀分布； 假设六：钢索的横截面积在自重及外载荷作用下变化微小，可忽略不计； 模型的建立与求解 模型一的建立： 问题一中不考虑钢索的重量，那么如果钢索不是一条拉直的线，那么就会出现图一中的情况，当人一开始滑下时，会直接下落，且最后无法冲上B点，会在B点的正下方相撞。 图一 所以认为钢索是一条平直的直线，已知落差为，水平距离为。 图一：不计阻力与钢索重量时的图形 用勾股定理： 钢索绳长 （1） 载人时不考虑阻力的作用，过江时的摩擦力只在用草时有，根据能量守恒定理： （2） 有图可知： （3） 其中为弦顷角，为用草时滑过的钢索长度。 模型一的求解： 求解（2）式得