选修21 圆锥曲线总复习.docVIP

椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 标准方程 顶 点 焦 点 准 线 中 心 （0，0） 有界性 焦 距 2c 长轴长 2a —— 实轴长 —— 2a 短轴长 2b 通径长 —— 2p 离心率 1 基本量关系 1.椭圆的参数方程是. 2．椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部. （2）点在椭圆的外部. 3.双曲线的内外部 (1)点在双曲线的内部. (2)点在双曲线的外部. 4.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1若双曲线方程为渐近线方程：. (2)若渐近线方程为双曲线可设为. (3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）. . 抛物线的焦半径公式 抛物线 焦半径. 过焦点弦长. .抛物线上的动点可设为P或 P，其中 . .抛物线的内外部 (1)点在抛物线的内部. 点在抛物线的外部. .两个常见的曲线系方程 (1)过曲线,的交点的曲线系方程是(为参数). (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线. .直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或（弦端点A，由方程 消去y得到，）. .圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线关于点成中心对称的曲线是. （2）曲线关于直线成轴对称的曲线是 . 解圆锥曲线问题常用方法 直线和圆锥曲线位置关系 位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。 其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。 直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。 直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。 当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。 圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。 解圆锥曲线问题常用以下方法： 、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。 如“”，令，则表示斜率为的直线在轴上的截距；如“”,令，则d表示点P（x，y）到原点的距离；又如“”，令=k，则k表示点P（xy）与点A这两点连线的斜率、参数法 （1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P，常设；直线上一动点P。除设外，也可直接设（2）斜率为参数当直线过某一定点时，常设此直线为，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解 （3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。 、代入法 这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P1,P2求（或求证）目标Q”，方法1是将条件P1代入条件P2，方法2可将条件P2代入条件P1，方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。 【典型例题】 例1：已知是直线上任一点，求的最小值。 分析：由此根式结构联想到距离公式， 解设则,它的最小值即到此直线的距离∴ 点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题例2：已知点是圆上一动点，求的最值。 解：设，则表示直线的斜率，由图可知，当直线OP与圆相切时，取得最值，设最值为，则切线：,即圆,由圆心到直线的距离为1得, ∴ ，∴ 例3：直线：平分双曲线的斜率为1的弦，求的取值范围. 分析：由题意，直线恒过定点，平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹，再求轨迹上的点M与点P的连线的斜率即的范围。 解：设是双曲线上的点，且的斜率为1，的中点为则： 得即在直线上。 由 得,∴点M的轨迹方程为 由图知，当动直线的斜率时，过斜率为1的弦AB的中点M，而∴的取值范围为： 例4：过上一点作倾斜角互补的两条直线交抛物线于两点。求证：直线的斜率是定值。 分析：（1）点A为定点，点为动点，因直线、的倾斜角互补，所以与相反，故可用“参数”法，设的斜率为，写出直线的方程，将的方程与抛物线方程联立，因A为已知交点，则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点坐标，同理可得点坐标，再求斜率。 （2）因点在抛物线上移动，也可用“点参数”法，设, ,因,即可设。再考虑得参数的关系。 解法1：设的斜率为