量子力学第三章习题与解答.docVIP

第三章习题解答 3.1 一维谐振子处在基态，求： (1)势能的平均值； (2)动能的平均值； (3)动量的几率分布函数。 解：(1)? (2) 或 (3) 动量几率分布函数为 # 3.2.氢原子处在基态，求： (1)r的平均值； (2)势能的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 解：(1) (3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 令 当为几率最小位置 ∴ 是最可几半径。 (4) (5) 动量几率分布函数 # 3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 证：电子的电流密度为 在球极坐标中为 式中为单位矢量 中的和部分是实数。 ∴ 可见， # 3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为 原子磁矩与角动量之比为 这个比值称为回转磁比率。 解：(1) 一圆周电流的磁矩为 （为圆周电流，为圆周所围面积） (2)氢原子的磁矩为 在单位制中 原子磁矩与角动量之比为 # 3.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： 转子绕一固定轴转动： 转子绕一固定点转动： 解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 哈米顿算符 其本征方程为 (无关，属定态问题) 令 ，则 取其解为 (可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有 即 ∴m= 0，±1，±2，… 转子的定态能量为 (m= 0，±1，±2，…) 可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。