限时规范检测(七十二) 逆变换与逆矩阵矩阵的特征向量.docVIP

限时规范检测(七十二)　逆变换与逆矩阵、矩阵的特征向量 (时间：30分钟　分值：35分) 1．(7分)(2012·福建质检)已知矩阵M＝的两个特征值分别为λ1＝－1和λ2＝4. (1)求实数a，b的值； (2)求直线x－2y－3＝0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程． 2．(7分)(2012·福建高考)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1. (1)求实数a，b的值； (2)求A2的逆矩阵． 3．(7分)已知aR，矩阵M＝对应的线性变换把点P(1,1)变成P′(3,3)，求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 4．(7分)已知M＝. (1)求逆矩阵M－1. (2)若矩阵X满足MX＝，试求矩阵X. 5．(7分)(2012·福州模拟)已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝. (1)求矩阵A； (2)判断矩阵A是否可逆，若可逆求出其逆矩阵． 限时规范检测(七十二)1．解：(1)矩阵M＝的特征多项式为f(λ)＝，f(λ)＝(λ－2)(λ－b)－2a＝λ2－(b＋2)λ＋2b－2a，由已知λ1＝－1，λ2＝4为f(λ)＝0的两根， 解得 (2)由(1)知M＝.设直线x－2y－3＝0上任意一点(x，y)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是(x′，y′)， 由＝＝， 得 解得代入x－2y－3＝0得 －2×－3＝0，即5x′－7y′＋12＝0， 于是点(x′，y′)必在直线5x－7y＋12＝0上． 由(x，y)的任意性可知，直线x－2y－3＝0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为5x－7y＋12＝0. 2．解：(1)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)． 由＝＝，得 又点P′(x′，y′)在曲线x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1， 即a2x2＋(bx＋y)2＝1， 整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1. 依题意得 解得或 因为a0，所以 (2)由(1)知，A＝， A2＝＝， 所以|A2|＝1，(A2)－1＝. 3．解：由＝，得a＋1＝3，即a＝2，故M＝，矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ＋1)(λ－3)，令f(λ)＝0，解得λ1＝－1或λ2＝3，即为矩阵M的特征值． 对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组得一个非零解因此，ξ1＝是矩阵M的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量； 对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组得一个非零解 因此，ξ2＝是矩阵M的属于特征值λ2＝3的一个特征向量． 4．解：(1)设M－1＝， 依题意有＝， 即＝， 则∴M－1＝. (2)矩阵X满足MX＝， 矩阵X＝M－1＝＝. 5．解：(1)Aα1＝6α1，Aα2＝α2， ＝6， 得c＋d＝6， ＝， 得3c－2d＝－2， 由联立，解得c＝2，d＝4， A＝. (2)det A＝＝6≠0， 矩阵A可逆， A－1＝.