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随机数的首位数字出现概率统计分析 西南大学2011级 朱熹 朱心阳 周亚晶 何龙 刘伟 田宸宇 内容摘要：本文运用一系列统计方法对学生人数进行统计分析，以及自己对实验现象的隐含的原理的猜测、证明。实验结果表明：a）首位数字是1的数字出现的几率最大，依次是2至9逐个递减。并且满足一定的函数关系。b）所有数字所在的数量级一定要有很大的差距，不然无法得出这个结论。c）所统计的数字一定不要受太大的人为因数影响。 以此定律，我们可以检验一些记账的数据是否被私自删改，以及比赛投票的结果的检验复查，防止一些简单的造假行为。 关键词：统计分析；首位数字；数量级；随机 1、引言 2001年，美国最大的能源交易商安然公司宣布破产，当时传出了该公司高层管理人员涉嫌做假账的传闻。事后人们发现，安然公司在2001年到2002年所公布的每股盈利数字就不符合本福特定律，这证明了安然的高层领导确实改动过这些数据。如今做假账这些行为应当严厉打击，也许在次定律发现之前，做的一些假账逃过了法律的制裁。传闻1935年，美国的一位叫做本福特的物理学家在图书馆翻阅对数表时发现，对数表的头几页比后面的页更脏一些，这就说明了前几页翻阅得跟多，由此本福特发现了这一定律。本福特定律看似不符合逻辑，实质上它是经得起检验的。为此我们作出此次统计调查再一次亲身感受结论的正确性，同时我们也将作出自己的猜想，以及自己对定律的理解。 2、提出问题 对于自然出现的数字的首位数，是否1~9这九个数字的出现概率一定为1/9？如果不是，那它们将满足什么关系？为什么会出现不等于1/9这种情况？这种规律能否在实际生活工作中应用？能不能对此有一个直观的理解？这就是本次统计方案设计大赛我们队所研究的课题——首位数字出现几率的概率统计。 3、分析问题 对于自然出现的这些数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，如果按照一定的度量单位制，这里我们假设他们为十进制进位方式，且数字按固定比例增长，那么在首位数字较小时，首数增长得会很慢，这意味着首位数变化的速率会很慢，但是当首位数字增长后，随着首位数字变大，首位数字的值增长也会加快。举个例子，假设股票市场上的指数一开始是1000点，并以每年10%的程度上升，那么要用7年多时间，这个指数才能从1000点上升到2000点的水平；而由 2000点上升到3000点只需要4年多时间；但是，如果要让指数从10000点上升到20000点，还需要等7年多的时间。也就是说，如果这些数据随机地出现，就算出现概率是等可能的，那么在一段时间内，我们看到的1出现的次数也将大于其他数字，所以这直接造成了首位数字是1出现的几率最大。 4、设计统计方案 我们猜想这些数字出现的规律满足由1开始逐渐递减，并且符合一定的函数关系。为此，我们将采集大量数据，为了让数据满足“随机、自然出现”这个条件，我们对重庆沙坪坝、洋人街和北碚的商铺做了调查，调查对象为这些商店的月营业额。由于商店类型不同，所以它们的营销额差距也是相当大的，可以产生相差几个数量级的营销额，且不受太多人为因素的影响。不要过多的选择同一地点且同一种商品的商店，那样可能将产生一些相似的数据。按照不同的月份分为12组，那么每个商店将可以为我们提供出12个数据。例如，第一家一月份的营业额为38914元，第二家一月份营业额为4339元，第三家一月份营业额为985元，第四家……那第一组的数据便为：38914、4339、985……之后，通过java编程统计，便能得到每个组中这九个数字在首位时出现的概率。之后再进行分析比对，于是得出结果。为了验证该结果，我们同时也将对其他一些数据进行同样的统计分析，例如贴吧点击数、不同投票的结果等等。 5、统计结果 所有调查的商店每月份的营销额的首位数字数量及比列如下：（第一行为首位数字，第二行为数据的个数，第三行为数据个数占总个数的百分数。后面的表同此） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 287 174 102 84 74 66 59 54 48 30.4% 18.4% 10.7% 8.8% 7.9% 6.9% 6.3% 5.6% 5.0% 通过对采集到的数据进行汇总和统计，我们发现在这些数据中，首位为1的出现概率远大于其他数字，并且接近于30%；而2~9这些数字出现的概率不仅远小于1出现的概率，其出现概率也是符合逐级递减的规律。并且符合数字越大递减的速率越慢的这一规律。与前面的猜想一致。 误差分析 将我们得到的数据与标准值相比较得方差 σ=【(0.304-0.301)^2+(0.184-0.176)^2+(0.107-0.097)^2+（0.088-0.097）^2+（0.079-0.079)^2+(0.069-0.067)^2+