郑州航空工业管理学院200910A.doc

郑州航空工业管理学院2009—2010学年第2学期 课程考试试卷（A）卷 课程名称： 近世代数 考试形式： 闭卷 考核对象（专业或班级）： 2007级数学与应用数学专业 学号： 姓名： 说明：所有答案请答在规定的答题纸或答题卡上，答在本试卷册上的无效。 一、填空题（本题总计 18 分，每小题3分） 1. 在4次对称群中， =__________. 2. 如果是一个含有15个元素的群，那么，对于，则元素的阶只可能是___________。 3. 3次对称群的子群的左陪集为______________________。 4. 剩余类环的子环，则S的单位元是____________. 5. 设是整数环上的一元多项式环,则的理想=____________。 6. 设是由所有复数(是整数)作成的环，那么环有____个元 二、选择题（本题总计18分，每小题3分,均为单项选择） 1. 下列法则，不是有理数集的代数运算的是( )。 A. = B. = C. = D. = 2. 设为所有实数构成的集合，的代数运算是普通乘法，则以下映射作成到的一个子集的同态满射的是( )。 A. x→|x| B. x→2x C. x→10x D. x→-x 3. 除环的理想有( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 设为群的不变子群，那么下列结论不正确的是( )。 A. 对 B.对 C. 对和有 D.对和有 5. 设是环的理想，那么以下命题中，正确的是( )。 A. 若为的最大理想，则剩余类环是一个除环 B. 若剩余类环是一个整环，则为的最大理想 C. 若为交换环的最大理想，则剩余类环是一个域 D. 若剩余类环是一个除环，则为的最大理想。 6. 设环是一个整环且和环同态，是到的一个同态满射，则下面结论正确的是（ ） A. 可能有零因子。 B. 是整环。 C. 不一定有单位元。 D. 的理想在下的像不一定是的理想。 三、解答题（本题总计20分，每小题 5分） 1．找出模12的剩余类加群的所有子群。 2. 找出3次对称群的所有子群哪些是的不变子群是模7的剩余类环。在里计算乘积。 4. 简要说明整环、除环和域之间的关系，并举例说明域不一定是除环。 四、证明题（本大题共6小题，总计44分） 1. (6分) 证明循环群的子群也是循环群 2. （6分）设群是一个由乘法运算定义的交换群，则为的子群。 3. (7分) 假定为的子群，是的不变子群。证明：是的子群。 4. （9分）设为有理数域上所有2阶方阵构成的集合。 证明：（1）关于矩阵的加法作成一个群. （2）关于矩阵乘法不能作成群. （3）关于矩阵的加法和乘法作成一个环。 5. (7分) 证明集合对于普通加法和乘法来说是一个整环（提示：首先证明是复数域的一个子环）。 6 . (9分) 设为环上的多项式环。证明： （1）当是整数环时，理想不是的最大理想. （2）当是有理数域时，理想是的最大理想. - 2 - 试卷 编号：