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导数及其应用专题
时间: 年 月 日 刘老师 学生签名:
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天蓬元帅调戏嫦娥,一怒之下,嫦娥将其告至玉帝! 玉帝问太白金星:“天蓬此举,该如何处置?” 太白金星:“知法犯法,按律当诛!” 玉帝点了点头,说:“唉,当猪就当猪吧!”
学前测试
1. 导数的几何意义
函数y=f(x)在点x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,其切线方程是y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
2. 导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f′(x)=0时,则f(x)为常数,函数不具有单调性.
3. 函数的极值与最值
(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题,函数的最值是对整个定义域而言的,是在整个范围内讨论的问题.
(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有.
(3)闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的最值.
4. 四个易误导数公式及两个常用的运算法则
(1)(sin x)′=cos x.
(2)(cos x)′=-sin x.
(3)(ax)′=axln a(a0,且a≠1).
(4)(logax)′=(a0,且a≠1).
(5)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
(6)′=(g(x)≠0). [例1] 考点一 导数几何意义的应用
例1 (1)过点(1,0)作曲线y=ex的切线,则切线方程为________.
(2)在平面直角坐标系xOy中,设A是曲线C1:y=ax3+1(a0)与曲线C2:x2+y2=的一个公共点,若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,则实数a的值是________.
答案 (1)e2x-y-e2=0 (2)4
解析 (1)设切点为P(x0,ex0),则切线斜率为ex0,
切线方程为y-ex0=ex0(x-x0),
又切线经过点(1,0),所以-ex0=ex0(1-x0),
解得x0=2,切线方程为y-e2=e2(x-2),
即e2x-y-e2=0.
(2)设A(x0,y0),则C1在A处的切线的斜率为f′(x0)=3ax,C2在A处的切线的斜率为-=-,
又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,
所以(-)·3ax=-1,即y0=3ax,
又ax=y0-1,所以y0=,
代入C2:x2+y2=,得x0=±,
将x0=±,y0=代入y=ax3+1(a0),得a=4.
(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.
(2)利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解.
(1)直线y=kx+b与曲线y=ax2+2+ln x相切于点P(1,4),则b的值为( )
A.3 B.1 C.-1 D.-3
(2)若曲线f(x)=xsin x+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a等于( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 (1)C (2)D
解析 (1)由点P(1,4)在曲线上,可得a×12+2+ln 1=4,
解得a=2,故y=2x2+2+ln x.所以y′=4x+.
所以曲线在点P处的切线斜率k=y′|x=1=4×1+=5.
所以切线的方程为y=5x+b.由点P在切线上,
得4=5×1+b,解得b=-1.
(2)f′(x)=sin x+xcos x,f′()=1,
即函数f(x)=xsin x+1在点x=处的切线的斜率是1,
直线ax+2y+1=0的斜率是-,
所以(-)×1=-1,解得a=2.
考点二 利用导数研究函数的性质
例2 (2013·广东)设函数f(x)=x3-kx2+x(k∈R).
当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
解 f′(x)=3x2-2kx+1,
(1)当k=1时,
f′(x)=3x2-2x+1=32+0,
∴f(x)在R上单调递增.
利用导数研究函数性质的一般步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)求导函数f′(x);
(3)①若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)0或f′(x)0.
②若
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