平面向量的数量积及应用分解.doc

平面向量的数量积及应用 1．[2016·常德模拟]ABC中A(2,1)，B(0,4)，C(5,6)，则·＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　C 解析　由已知得＝(－2,3)，＝(3,5)，所以·＝－2×3＋3×5＝9. 2．[2016·韶关模拟]设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是(　　) A．|a|＝|b| B．a·b＝ C．a－b与b垂直 D．ab 答案　C 解析　对于A选项，|a|＝1，|b|＝＝，所以A不正确；对于B选项，a·b＝，所以B错误；对于C选项，a－b＝，b＝，(a－b)·b＝－＝0，所以a－b与b垂直，所以C正确；D显然错误．故选C. 3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则向量a在b方向的投影是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　|a|cos〈a，b〉＝＝＝. 4．向量a，b均为非零向量，(a－2b)a，(b－2a)b，则a，b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　(a－2b)·a＝|a|2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝|b|2－2a·b＝0，所以|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，故|a|2－2a·b＝|a|2－2|a|2cos〈a，b〉＝0，可得cos〈a，b〉＝，又因为0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝. 5．[2016·龙岩质检]已知平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，DAB＝60°，则·等于(　　) A．1 B. C．2 D．2 答案　C 解析　·＝(＋)·＝2＋·＝||2＋||||cosDAB＝1＋2×1×cos60°＝2.故选C. 6．[2016·贺州模拟]已知a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|＝________. 答案　4 解析　因为|a＋b|＝，所以|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos120°，所以9＋|b|2－3|b|＝13，解得|b|＝4. 7．[2015·湖北高考]已知向量，||＝3，则·＝________. 答案　9 解析　·＝·(＋)＝||2＋·.又，||＝3.·＝9. 8．如下图，在ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边BC的中点，则·＝________. 答案　－ 解析　利用向量的加减法法则可知 ·＝(＋)·(－＋)＝(－2＋2)＝－. 9．[2015·安徽高考]ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号) a为单位向量；b为单位向量；a⊥b；b∥；(4a＋b) 答案　 解析　在正三角形ABC中，＝2a，||＝2，所以|a|＝1，正确；由＋＝＝2a＋b，得＝b，因此正确，不正确；由与的夹角为120°，知a与b的夹角为120°，所以不正确；因为＝b，所以(4a＋b)·＝4a·b＋b2＝4×1×2×＋22＝0， 所以(4a＋b).故正确． 10．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(xR)． (1)若ab，求x的值； (2)若ab，求|a－b|. 解　(1)由ab得，2x＋3－x2＝0，即(x－3)(x＋1)＝0.解得x＝3或x＝－1. (2)由ab，则2x2＋3x＋x＝0，即2x2＋4x＝0，得x＝0或x＝－2. 当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，所以a－b＝(－2,0)． 此时|a－b|＝2. 当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)， 则a－b＝(2，－4)．故|a－b|＝＝2. 11．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝. (1)求a，b夹角的大小； (2)求|3a＋b|的值． 解　(1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7， 即9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7， 而|a|＝|b|＝1， a·b＝， |a||b|cosθ＝，即cosθ＝， 又θ[0，π]，a，b的夹角为. (2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13， |3a＋b|＝. 12．[2016·山东菏泽质检]已知ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，B为锐角，向量m＝(2sinB，－)，n＝，且mn. (1)求角B的大小； (2)如果b＝2，求SABC的最大值． 解　(1)mn?2sinB·＋cos2B＝0 sin2B＋cos2B＝02sin＝0(B为锐角)2B＝B＝. (2)cosB＝ac＝a2＋c2－4≥2ac－4ac≤4. S△ABC＝a·c·sinB≤×4×＝. ∴S△ABC的最大值为.[B级　知能提升](时间：20分钟) 1．[2016·南宁模拟]已知a＝(－1，)，＝a－b，＝a＋b，若AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则AOB的面积为(　　) A. B．