数列求和专题分解.doc

**教育环教学案 日期： 授课人： 学生：今日格言柏拉图说：“数学是一切知识中的最高形式” 课题 　1． 数列求和的方法技巧 (1)分组转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和． (4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为的数列的前n项和，其中{an}若为等差数列，则＝. 常见的拆项公式： ①＝－； ②＝(－)； ③＝(－)； ④＝(－)．训练 考点一　分组转化求和法 例1　等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前n项和Sn. 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式． 设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x－an＋2sin x满足f′＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝2，求数列{bn}的前n项和Sn. 考点二　错位相减求和法 例2　设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn. 错位相减法求数列的前n项和是一类重要方法．在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题． 设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 考点三　裂项相消求和法 例3　设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N*, 且a2，a5，a14构成等比数列． (1)证明：a2＝； (2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋. 数列求和的方法：(1)一般地，数列求和应从通项入手，若无通项，就先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形式，从而选择合适的方法求和得解．(2)已知数列前n项和Sn或者前n项和Sn与通项公式an的关系式，求通项通常利用an＝.已知数列递推式求通项，主要掌握“先猜后证法”“化归法”“累加(乘)法”等． 已知，，(x≥0)成等差数列．又数列{an}(an0)中，a1＝3，此数列的前n项和为Sn，对于所有大于1的正整数n都有Sn＝f(Sn－1)． (1)求数列{an}的第n＋1项； (2)若是，的等比中项，且Tn为{bn}的前n项和，求Tn. 1． 数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做好该类题型的关键．若是等差数列或等比数列，则直接运用公式求解，否则常用下列方法求解： (1)an＝. (2)递推关系形如an＋1－an＝f(n)，常用累加法求通项． (3)递推关系形如＝f(n)，常用累乘法求通项． (4)递推关系形如“an＋1＝pan＋q(p、q是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定系数法．可设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{an＋λ}是一个等比数列． (5)递推关系形如“an＋1＝pan＋qn(q，p为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以qn转化为类型(4)，或同除以pn＋1转为用迭加法求解． 2． 数列求和中应用转化与化归思想的常见类型： (1)错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解． (