平面向量的及其线性运算分解.doc

平面向量的概念及其线性运算 1．下列命题中是真命题的是(　　) 对任意两向量a，b，均有：|a|－|b||a|＋|b|； 对任意两向量a，b，a－b与b－a是相反向量； 在ABC中，＋－＝0； 在四边形ABCD中，(＋)－(＋)＝0； －＝. A． B． C． D． 答案　D 解析　假命题．当b＝0时，|a|－|b|＝|a|＋|b|. 不成立． 真命题．(a－b)＋(b－a)＝a＋(－b)＋b＋(－a)＝a＋(－a)＋b＋(－b)＝(a－a)＋(b－b)＝0， a－b与b－a是相反向量． 真命题．＋－＝－＝0.成立． 假命题．＋＝，＋＝， (＋)－(＋)＝－＝＋≠0. 该命题不成立． 假命题．－＝＋＝≠.该命题不成立． 2．[2016·南充调研]如图，在三角形ABC中，BE是AC边上的中线，O是BE边的中点，若＝a，＝b，则＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 答案　D 解析　在三角形ABC中，BE是AC边上的中线，＝.O是BE边的中点，＝(＋)＝＋＝a＋b，故选D. 3．[2015·重庆模拟]已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(kR)，d＝a－b，如果 cd，那么(　　) A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c 与d同向 D．k＝－1且c 与d反向 答案　D 解析　由cd得c＝λd， 即ka＋b＝λ(a－b)， 所以 所以k＝λ＝－1， 所以向量c与d共线反向． 4．[2016·福建联考]已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 答案　B 解析　因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B. 5．[2016·日照模拟]在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　) A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 答案　C 解析　由已知A＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2. ∥.又与不平行，四边形ABCD是梯形． 6．[2014·福建高考]设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　) A. B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4.故选D. 7．[2014·课标全国卷]已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________． 答案　90° 解析　由＝(＋)知O为线段BC的中点，所以BC为圆的直径，则与的夹角为90°. 8．[2015·泉州四校联考]设e1，e2是不共线的向量，若＝e1－λe2，＝2e1＋e2，＝3e1－e2，且A，B，D三点共线，则λ的值为________． 答案　2 解析　＝2e1＋e2，＝3e1－e2， ＝－＝(3e1－e2)－(2e1＋e2)＝e1－2e2， 若A，B，D三点共线，则与共线，存在μR使得＝μ，即e1－λe2＝μ(e1－2e2)， 由e1，e2是不共线的向量，得 解得λ＝2. 9．[2016·上饶模拟]已知D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：＝a－b；＝a＋b；＝－a＋b；＋＋＝0. 其中正确命题的个数为________． 答案　3 解析　＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故错； ＝＋＝a＋b，故正确； ＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，故正确； ＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.故正确．正确命题为. 10．如图所示，四边形OADB是以＝a，＝b为邻边的平行四边形，又＝，＝，试用a，b表示，，. 解　由题意，可知＝＝＝(－)＝(a－b)． 所以＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b. 又＝＝， 所以＝＋＝＋＝＝(＋)＝(a＋b)． 所以＝－＝(a＋b)－＝a－b. 11．设两个非零向量a与b不共线． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． 解　(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， 所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5. 所以，共线． 又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线． (2)因为ka＋b与a＋kb共线， 所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，所以(k－λ)a＝(λk－1)b. 又a，b是不共线的两个非零向量， 所以解得或 所以当k＝1或－1时，ka＋b和a＋kb共线． 12．如图所示，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，，，，； (2)求证：B，E，F