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高级微观经济学 经济学院 桑乃泉 教材: 《高级微观经济理论》 上海财经大学出版社 Geoffrey A.Jehle Philip J.Reny 1.2.2 效用函数 定义 实值函数 是表示偏好关系的效用函数，如果 定理1.1 定义在消费集 上的偏好关系满足连续性和严格单调性，那么就存在一个连续的实值函数来表示： 首先证明A、B 为闭集 然后证明A、B为闭区间 再证明A与B的交集非空 证明A与B的交集只含唯一元素 证明 代表偏好关系 最后证明 是连续函数 效用函数的单调变换 表示偏好关系 正单调变换 定理1.2： 效用函数对正单调变换的不变性 实值函数 能够表示偏好系，那么它的正单调变换也能够表示该偏好关系。 定理1.3 偏好性质与效用函数 令 是由 表示，那么 1 当且仅当 是严格单调的，u(x) 是严格递增 2 当且仅当 是凸的，u(x) 是拟凹的 3 当且仅当 是严格凸的， u(x) 是严格拟凹的 效用函数与无差异曲线 可导性 无差异曲线光滑 效用函数实例 拟线性偏好效用函数 CES效用函数 1.3 消费者问题 消费者选择 偏好关系： 消费集： 可行集： 最优化选择： 偏好与效用函数 假设消费者偏好具有完备性、可传递性、连续性、严格单调性，并且严格凸的。 那么这种偏好关系可由一个连续的、严格递增的并且严格拟凹的实值函数 来表示。（根据定理1.1和1.3） 消费者最优化问题 最优化图解 预算集B 预算收入 市场价格 复习: (威尔斯拉斯)极值存在性定理 效用函数极值存在性 极值的唯一性 极值的唯一性：举例 非凸偏好 极值的唯一性：举例 非严格凸偏好 瓦尔拉斯法则 极值的性质 偏好的理性、连续性 偏好的严格凸性 偏好的递增性 极值的充要条件 如果偏好具有良好性质， 可导 Kuhn-Tucker条件 由瓦尔拉斯法则， Kuhn-Tucker条件可以简化为等式约束 定理1.4 内点解必要条件的充分性 如果效用函数连续、拟凹，在 处可导，而且 ， 。那么满足以下必要条件的解一定是消费者的效用最大化解。 解的充要条件 极值的充要条件 定理1.5 需求函数的可微性 设 在 下消费者的最优选择。如果有 加边海赛矩阵的秩不 等于0。 例 角点解 角点解 拟线性偏好 角点解 线性偏好 预算集B 预算集： 非空 是有界、闭集 预算集B为紧集 是 上的连续函数 效用函数存在极大值 满足假设1.2 由于 同时又是紧集 如果偏好关系满足严格凸性，可行集B也是凸集，那么消费者最优解唯一 证明： 是凸集? 是严格拟凹函数 ? ——与假设矛盾?假设不成立?解是唯一的 x1 x2 x1 x2 最优解总要把钱花光 存在性 唯一性 瓦尔拉斯法则 ——马歇尔需求函数 拟凹 设 有： 证明 假设 不是消费者的效用最大化选择 ,即 连续性 ——与u(x)拟凹性矛盾 是 上的二次连续可微函数 在 可微。 那么 * * * * * * 0 u(x)e o B A 而且 是唯一的。因为： 假设 （严格单调性） （传递性） ? 存在唯一的 使得 由 式得到 （传递性） （严格单调性） u( )e x 2 0 u( x2 )e 效用函数在开区间上的原象 （定义） （单调性） （传递性） 是开集 （因为 的补集是闭集） 连续 是开集 其中 在 的取值范围上是严格递增函数。 所以，v(x）也能代表偏好关系 拟凹 具有凸性 证明定理1.3之二 拟凹 具有凸性 无差异集： 上优集(Superior Set) 【严格上优集】 严格递增 严格单调 边际效用 （偏好单调性） （偏好严格单调性） 【几乎处处成立】 是凹函数 拟凹 边际效用递减 * *