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两字之差 结果迥然 学生错题：如图1：要在燃气管道l上修建一个泵站，向A,B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ ????????????? 　　　　　　　　　 给出了如下的作图及证明方法： 　　　　　　　　　??? ? 如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置. 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′,连结A C′,B C′, B′C′,因为直线l是点B,B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB=CB′, C′B= C′B′,∴AC+CB=AC+C B′=A B′ . 在△A C′B′中，∵A B′＜A C′+ C′B′,∴AC+CB＜A C′+ C′B′即AC+CB最小. 题1：如图1：要在燃气管道l上修建一个泵站，向A,B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 　：如图，A ,B到l的距离分别是m km和n km (mn),AB=a km, 要在燃气管道l上修建一个泵站，向A,B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 分析：根据题意，我们可设计出两种管道铺设方案. 方案一：其中AC⊥l 于点C,设方案中管道长度为d ?,则d =(AB+AC )km????? 　　　　　　　　　　　　　　 方案二（见课本例题的作图方法）： 设该方案中管道长度为d, 则d=AC+BC=AC+ CB′= A B′?? 　　　　　　　　　　　　　 计算：⑴方案一中，d = AB+AC=(a+m)km ⑵方案二中，我们作如图所示的辅助线，在△ABK中，AK2= a－(n－m) ∴在△AK B′中,d= A B′= == 　　　　　　　　　　　　　 比较：∵d ，d均为正数，为了比较d ，d的大小，我们可以比较其平方的大小：d =（a+m）, d=()=a+4mn d － d=（a+m）－( a+4mn)= a+2am+m－ a－4mn=2am+m－4mn ①当2am+m－4mn＞0时，a＞即a＞2n－m时，d － d＞0，∴d ＞d ②当2am+m－4mn=0时，a=即a=2n－m时，d － d=0，∴d = d ③当2am+m－4mn＜0时，a＜即a＜2n－m时，d － d＜0，∴d ＜ d 综上可知：当a＞2n－m时，方案二所用的输气管线最短；当a=2n－m时，选方案一或方案二均可； 当a＜2n－m时，方案一所用的输气管线最短. 从上面的分析中，我们也可以看出数学语言的严谨性。 21世纪教育网 精品试卷·第 2 页 （共 10 页） - 1 -