长沙理工大学数值分析习题集及答案.doc

数值分析习题集 （适合课程《数值方法A》和《数值方法B》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 设x0,x的相对误差为δ,求的误差. 设x的相对误差为2％,求的相对误差. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈27.982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27.982). 当N充分大时,怎样求? 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 设假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小. 序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? ,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c 的误差分别为证明面积的误差满足 第二章 插值法 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 . 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 给出f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值. x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 设,k=0,1,2,3,求. 设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: 设且,求证 在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少? 若,求及. 如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 证明. 证明 证明 若有个不同实根,证明 证明阶均差有下列性质: 若,则; 若,则. ,求及. 证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差. 求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 给定数据表如下: 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 试求三次样条插值并满足条件 若,是三次样条函数,证明 ; 若,式中为插值节点,且,则. 编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用(8.7)式的表达式). 第三章 函数逼近与计算 (a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 求证: (a)当时,. (b)当时,. 在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式. 假设在上连续,求的零次最佳一致逼近多项式. 选取常数,使达到极小,又问这个解是否唯一? 求在上的最佳一次逼近多项式,并估计误差. 求在上的最佳一次逼近多项式. 如何选取,使在上与零偏差最小?是否唯一? 设,在上求三次最佳逼近多项式. 令,求. 试证是在上带权的正交多项式. 在上利用插值极小化求1的三次近似最佳逼近多项式. 设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数、,使 设在上,试将降低到3次多项式并估计误差. 在上利用幂级数项数求的3次逼近多项式,使误差不超过0.005. 是上的连续奇(偶)函数,证明不管是奇数或偶数,的最佳逼近多项式也是奇(偶)函数. 求、使为最小.并与1题及6题的一次