高中数学中的数学建模.doc

高中数学中的数学建模 新课改下，数学建模首次进入了高中课程.在高中开展数学建模教学活动，是数学学习的一种新的方式，也是提高学生数学应用意识与数学素质的一种很好的方式. 什么是数学建模？简单的说，数学建模就是把一个具体的实际问题转化成一个数学问题，然后我们用数学方法解决它，之后我们再把它放回到实际生活当中去，用我们的模型解释现实生活当中的种种现象和规律. 根据课程标准要求：高中数学建模的问题应来源于学生的日常生活和现实生活当中，通过数学建模，让学生了解和经历解决实际问题的过程，并且根据学生已有的经验发现要提出的问题.同时，希望学生在这一过程中感受数学的实用价值和获得良好的情感体验，也希望学生在这样的过程当中，学会通过查询资料等手段来获取信息，之后采取各种合作的方式解决问题，养成与人交流的能力. 高中数学中的数学模型在解决实际问题时，主要以两种形式出现，一是用模，二是建模. （一）用模 以人教A版3.2.2函数模型的应用实例中例4为例说明. 例4：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus,1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型： ， 其中表示经过时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率. 表1：下表是1950—1959年我国的人口数据资料： 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数/万人 55176 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 （1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； （2）如果按上表的增长趋势，大约在那一年我国的人口达到13亿？ 分析解答：①指导学生依据我国人口数据资料确定马尔萨斯人口函数中的待定系数. 取，即1950年时的人口55196万人. 为1950—1959年的人口年增长率的平均值.要计算1950—1959年的人口年增长率的平均值，需要先计算出这期间每年的人口增长率. 设1951—1959年的人口年增长率分别为，，…，，由 ， 可得1951年的人口增长率. 同理可得： ，，，， ，，，， 于是，1950—1959年的人口年增长率的平均值为 因此，我国在1950—1959年的具体人口增长模型为 ，. ②启发学生：怎样检验我们所得的模型与实际人口数据是否相符？指导学生根据表1数据作出散点图，并与人口函数，的图像相比较. 图1 由上图可以看出所得模型与1950—1959年的实际人口数据基本吻合. ③应用模型预测那一年我国人口达到13亿？ 将代入 ， 由计算器可得 . 所以，如果按表1的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989）年我国人口就已达13亿. ④模型解释：由上可看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力. （二）建模 以人教A版3.2.2函数模型的应用实例中例6为例说明. 例6：表2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表 身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 （1）根据表2提供的数据，能否建立恰当的数学模型，使它能比较近似的反映这个地区未成年男性体重kg与cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式. （2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8为偏瘦，那么这一地区一名升高为175cm，体重为78kg的在校男生体重是否正常？ 分析：由表2中的数据不能直接发现数量关系，需要利用散点图探寻问题的函数模型.由画出的散点图，观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况（快速增长），可以考虑用增长的函数模型作为这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重与身高的函数关系. ①身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图2 图2 ②根据点的分布特征可以考虑以作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高的函数模型. ③选取表2其中两组数据，代入得： 用计算机算得 ， 这样，得到函数模型： . ④将已知数据代入上述解析式，或作出上述函数模型的图像3，可以发现这个函数模型与已知数据的拟合度较好，这说明它能较好的反映这个地区未成年男性体重与身高的关系. 图3 ⑤如何应用模型判断某男生的体重是否正