高中数学“数列的综合问题”教学研究.doc

专题讲座 高中数学“数列的综合问题”教学研究 郭洁 北京市东城区教师研修中心 一、对本专题数学知识的深层次理解 （一）数列综合问题的几个重点内容 数列的综合问题课标中并没有明确的陈述，但往往是高考考查涉及到的问题，如：数列求和问题；数列与不等式综合问题；关于递推数列的问题等。这些问题往往涉及数列知识的综合和高考的考查重点，教学中教师要给予关注并较好的把握。 （二）教学内容的重点、难点 重点：在解决数列问题中要关注数列的属性、项数，用函数的观点研究数列；掌握数列求和的基本方法及基本的递推数列问题。 难点：数列与不等式综合问题中的放缩问题；解决递推数列问题的策略。 二、“数列综合问题”的 教与学的策略 （一）解决数列问题的基本思路 判断所要求研究的数列是否为特殊数列：等差数列或等比数列，如果是，用公式和性质解决 . 如果不是等差、等比数列，要么转化为等差数列或等比数列，要么寻找其它方法 . 因此我们拿到一个数列的问题时，要注意关注数列的属性。 1．关注数列的属性 本题的关键是定性，即关注数列的属性。 2．关注数列的项数 此题涉及等差、等比数列的综合问题，考查了等比中项，等差数列的通项公式等基本知识，考查了方程思想，关键是利用已知条件找到 Kn与 n的关系。 3．用函数的观点认识数列 本题的关键是用函数的观点去看待数列问题，此题也涉及到不等式的知识 . 以上几个例题从不同角度反映了数列是特殊的函数这一问题，因此解决数列问题，往往可以利用解决函数问题的思考方式。 （二）关注数列求和问题的教学 数列求和的问题需要根据数列特点选择解决方法 ， 必须掌握常用的数列求和方法 ， 但数列求和往往和其他知识综合在一起 ， 综合性较强 . 若为等差 （ 比 ） 数列 ， 则直接用公式求和 ； 若非等差 （ 比 ） 数列 ， 则需寻找间接求和的方法 . 常见的有 ：“ 倒序相加法 ”“ 错位相减法 ”“ 裂项相消法”等 . 1．用公式求和 分析 : 课本上推导等差数列的前 项和公式的方法为倒序相加法 , 故设 数列求和的问题需要根据数列特点选择解决方法这一点在教学中应该始终坚持。 （三）数列与不等式综合问题的教学 对于学生来说，他们非常清楚证明此题的方向，即先放缩再求和，但是学生的问题就是放缩的误差过大，而不能判断是什么原因导致的误差过大 . 学生解法： 提出以下改进方案 . 方案 1 ：通项放缩不变，减少放缩的项数 尝试 1 ：第一项不放缩，从第二项开始放缩 仍然失败，不过离成功更近了 . 尝试 3 ：前三项不放缩，从第四项开始放缩 终于成功了！ 方案 2 ：减小通项的放缩误差 反思：对于改进 1 ，尽管最后没有成功，但从上面方案 1 的最终成功可以得到启发，改进为在求和时第一项不放缩，从第二项开始放缩。 不等式得证 . 解题要在已有的知识基础上，探索解题思路的发现过程。 （四）关于递推数列的教学 这类问题是学生学习的疑点或盲点 。 一方面 ， 他们不能牢固掌握解决此类问题的一般思维方式 ： 即首先利用公式 中消去 an或 Sn使递推式得以统一 ， 再思考能否从简化的递推式中发现与 an或 Sn相关的特殊数列 ， 甚至是走 “ 观察 — 归纳 — 猜想 — 证明 ” 的探索之路 ； 另一方面 ， 在应用公式 进行变换的过程中 ， 常忽视 n取值范围的变化 ， 而使求解与论证失去严谨性 。 在教学中要避免题型套题型，没有思想方法的主线，教学变为杂乱无章的堆砌的现象。也要避免采取灌输的方法，将这些题型和方法强加给学生的现象，这种只给结果的教学是不可能奏效的，因为没有对解法的来源的任何交代，学生是无法理解的。 常见做法——归纳题型，总结技巧： 题型套题型，没有思想方法作为主线，显得杂乱无章。 这是一个数列递推问题，一般地，抽象问题具体化，一般问题特殊化是数学中采用的基本策略。因此，先考察几个特殊的具体问题，以便从中找出思路。 设计意图：本题是解决整个问题的关键，取 p=2， q=1，是因为这时比较容易观察出其结构特点，并可以采用“凑”的办法，将数列化归为等比数列。 注意，教学中应该在这里舍得花时间，放手让学生自己去做，教师不必干预过多。 学生可能会计算出数列的前几项，从而猜想出通项公式，这应该是学生思维的火花，教师应该及时鼓励。 当 n=1时也成立 能够用思考五解题的学生，很好地利用迭代的方法解决问题。 设计意图：在前面几个问题的铺垫下，这一问题的解决已经水到渠成，当然，因为推广了“同类事物”，所以要注意“完备性”，要对细节、特例进行讨论。 上述设计，我们不是把“待定系数法”强加给学生，