高中数学必修一抽象函数问题的“原型”解法(苏教版).doc

抽象函数问题的“原型”解法 抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。 所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。 抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如有可抽象为。那么=就叫做抽象函数满足的“原型”（函数），分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型”（函数）并举例说明“原型”解法。[来源:学,科,网]的“原型”（函数） 1、——(为常数） 2、——=（＞0且≠1） 3、—— (＞0且≠1) 4、——(为常数） 5、或 －－=(为常数） 6、－－= 二、“原型”解法例析[来源:Z+xx+k.Com]满足，且()=0，、∈R；求证：为周期函数，并指出它的一个周期。[来源:学_科_网][来源:学科网]=2coscos 原型：=，为周期函数且2π为它的一个周期。 猜测：为周期函数，2π为它的一个周期 令=+，= 则=0 ∴ ∴为周期函数且2π是它的一个周期。 已知函数满足，若，试求(2005)。 分析与略解：由 想：(+)= 原型：=为周期函数且周期为4×=π。[来源:学科网ZXXK]为周期函数且周期为4×1=4 ∵==- ∴(+4)= ∴是以4为周期的周期函数 又∵f(2)=2004 ∴===- ∴f(2005)=-? 已知函数对于任意实数、都有，且当＞0时，＞0，(-1)=-2，求函数在区间[-2，1]上的值域。 分析与略解：由： 想：(+)=+ 原型：＝（为常数）为奇函数。＜0时为减函数，＞0时为增函数。 猜测：为奇函数且为R上的单调增函数，且在[－2,1]上有∈[－4,2] 设且，∈R 则－0 ∴(－)0 ∴==＞0[来源:Zxxk.Com],∴为R上的单调增函数。 令==0,则(0)=0,令=－，则(－)=－[来源:学科网ZXXK]为R上的奇函数。 ∴(-1)=- (1)=-2 ∴(1)=2，(-2)=2(-1)=-4 ∴-4≤≤2(x∈[-2,1]) 故在[-2,1]上的值域为[-4，2] 已知函数对于一切实数、满足(0)≠0，，且当0时，＞1 （1）当＞0时，求的取值范围 （2）判断在R上的单调性 分析与略解：由： 想： 原型：=（＞0, ≠1），=1≠0。当＞1时为单调增函数，且＞0时，＞1，＜0时，0＜＜1；0＜＜1时为单调减函数，且＜0时，＞1，＞0时，0＜＜1。 猜测： 为减函数，且当＞0时，0＜＜1。 （1）对于一切、∈R，且(0)≠0 令==0，则(0)=1，现设＞0，则-＜0，∴f(-) ＞1 又(0)=(-)= =1 ∴= ＞1 ∴0＜＜1[来源:学#科#网Z#X#X#K]，、∈R，则－0，(－)＞1且 ＞1 ∴， ∴f(x)在R上为单调减函数 已知函数定义域为(0,+∞)且单调递增，满足(4)=1， （1）证明：(1)=0；(2)求(16)；（3）若+ (-3)≤1，求的范围； （4）试证()=（n∈N） 分析与略解：由： 想：（、∈R+） 原型：（＞0，≠0） 猜测：有(1)=0，(16)=2，…… （1）令=1，=4，则(4)=(1×4)=(1)+(4)∴(1)=0 （2）(16)=(4×4)=(4)+(4)=2 (3)+(－3)=［(－3)］≤1=(4)[来源:学科网][来源:学科网] ∴ ∈（3，4] （4）∵ ∴ 已知函数对于一切正实数、都有且＞1时，＜1，(2)= (1)求证：＞0；（2）求证： （3）求证：在（0，+∞）上为单调减函数 （4）若=9，试求的值。 分析与简证：由， 想： 原型：（为常数（=） 猜测：＞0，在（0，+∞）上为单调减函数，…… (1)对任意＞0，=)=≥0 假设存在＞0，使=0，则对任意＞0 =f(==0，这与已知矛盾 故对任意＞0，均有＞0 （2）∵，＞0, ∴(1)=1 ∴()=(·)=(1)=1 ∴ (3)、∈(0,+∞)，且＜，则＞1，∴()＜1，[来源:学科网] 即 ∴在（0，+∞）上为单调减函数。 （4）∵(2)=，()=