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高中数学教学论文以空间图形为背景的轨迹问题的探求
以空间图形为背景的轨迹问题的探求
伴随新课程的不断深入,近几年高考试题,设置了一些开放题,具有新颖性、综合性.在知识网络交汇处设计试题是当今高考命题的一个方向,空间轨迹问题正是在这种背景下“闪亮登场”.这类题目已突破传统的筐筐,涵盖的知识点多,较抽象,学生求解起来颇感困难,得分率偏低,令人惋惜.本文通过几道典型例题的分析,寻求空间轨迹问题的探求方法.
1? 分析动点满足的几何性质;通过设轨迹上任意一点,根据条件求出动点的某些特征,再类比已学过的曲线的定义和性质,来寻求突破.
1.1? 利用线面垂直关系
【例1】?正方体中,点P在侧面及其边界上运动,在运动过程中,保持AP,则动点P的轨迹是( A? )?????
A.线段???????
P
? B.线段
C.中点与中点连成的线段
D.中点与中点连成的线段
解:联想到线面垂直,转化为求AP运动所形成的面与垂直,易证,故选A.
1.2? 联想圆的定义
?? 【例2】如图所在的平面和四边形所在的平面垂直,且, , ,,,则点在平面内的轨迹是(? A )
A.圆的一部分????????
B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分????
D.抛物线的一部分,
?
有在平面PAB内,以AB所在直线为X轴,AB的中点为坐标原点,设P(x,y)则,化简得,注意到点P不在直线AB上,故除掉 选A.
练习:已知正方体的棱长为1,在正方体
的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线,则该
曲线的长度为( B )
??? A.?????? B.??? C.???? D.
??? 解:当点P在上底面时,连AP、A1P,
在直角APA1中,求得PA1=,即弧P1P2的长.同理左侧面的弧P5P6、后侧面的弧P3P4的长也为;当点P在前侧面时,弧P1P6的半径为,因为直角A1P1A中,直角边A1P1的长为斜边P1A的一半,所以弧P1P6的圆心角为,从而弧P1P6的长为.同理右侧面的弧P2P3的长与下底面的弧P4P3的长的长也为.故曲线的总长度为,故选B.
1.3? 联想到抛物线的定义
【例3】 ?已知正方体的棱长为1,点M在棱
AB上,且AM=,点P是平面ABCD内的动点,且点P到直线
的距离的平方与点P到点M的距离的平方之差为1,则P点的
轨迹为(A)
??? A.抛物线弧???? ?B.双曲线弧???? C.线段?????? D.以上都不对
解法一:过P作PF垂直AD于F,则PF垂直平面ADD1A1,过点F作FE垂直A1D1于E,连PE,则PE为点P到直线A1D1的距离,由已知,即,得, PF=PM,故P点的轨迹是以M为焦点,以AD为准线的抛物线,故选A.
?? 解法二:以AB,AD所在直线为X轴Y轴建立直角坐标系,设P(x ,y)为轨迹上任意点,可得P到A1D1的距离平方为1+,=,所以1+--=1,整理得,故选A.
练习:在正方体的侧面ABB1A1内
有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等,则动点P所
在曲线的形状为( C)
??? A.直线??????? B.双曲线
??? C.抛物线????? D.圆
解:因为B1C1垂直于平面ABB1A1,所以PB1为点P到直线B1C1的距离,于是问题转化为在平面ABB1A1内,点P到定点B1的距离与点P到定直线AB的距离相等.故根据抛物线的定义可知选答案C.???
1.4? 联想到球面的定义
【例4】 如图,已知正方形的棱长为2,长为2的线段的一个端点在棱上运动,点N在正方形内运动,则中点的轨迹的面积是( )
A.??????? B. ?? C. ????? D.
解:充分利用MN的长度不变,是直角三角形,P点为斜边的中点,.故点的轨迹是以为圆心,1为半径的球面位于正方体内的部分,因为要算具体面积,就必须求出几何体是球的哪些部分.分析可得,点P和棱、、均交于各自的中点,即三条半径两两垂直,该部分球面与正方体围成的几何体是球的八分之一,故选D.
2? 利用向量工具;按立体几何的传统方法几乎无从下手时,恰当的运用向量,有踏破铁鞋无觅处,得来全不费工夫之感.
?? 【例5】一定长线段AB的两个端点A、B沿互相垂直的两条异面直线、运动,求它的中点的轨迹.
解:设MN为、的公垂线段,则MN与、两两垂直.如图,以N点为原点,直线为轴,直线NM为轴,以过点N所作直线的平行线为轴,建立空间直角坐标系.
??设,,,则, P点坐标为,其中横坐标和纵坐标为变量,竖坐标为常量.
P点必在MN的垂直平分面上,取MN的中点O,则
,所以P点在以O为圆心,
为半径的圆上.故P点的轨迹是MN的垂直平分面内的一个圆.
3? 利用特殊点定位;把问题的形式向特殊化形式转化,得出结论,并证明特殊化后的结论适合一般情况.
【例6】? 如图所示,在三棱锥A-BCD中,P为CD的
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