高中数学竞赛专题讲座平面几何选讲.doc

平面几何选讲反演变换 基础知识 一定义 1设是平面上的一个定点，是一个非零常数．如果平面的一个变换，使得对于平面上任意异于的点与其对应点之间，恒有（1）三点共线；（2）则这个变换称为平面的一个反演变换，记做．其中，定点称为反演中心，常数称为反演幂，点称为点的反点． 2在反演变换下，如果平面的图形变为图形，则称图形是图形关于反演变换的反形．反演变换的不动点称为自反点，而反演变换的不变图形则称为自反图形． 3设两条曲线相交于点，、分别是曲线在点处的切线（如果存在），则与的交角称为曲线在点处的交角；如果两切线重合，则曲线在点处的交角为．特别地，如果两圆交于点，那么过点作两圆的切线，则切线的交角称为两圆的交角．当两圆的交角为时，称为两圆正交；如果直线与圆相交，那么过交点作圆的切线，则切线与直线的交角就是直线与圆的交角．当这个交角为时，称为直线与圆正交． 二定理 定理1在反演变换下，不共线的两对互反点是共圆的四点． 定理2在反演变换下，设两点（均不同于反演中心）的反点分别为，则有 ． 定理3在反演变换下，过反演中心的直线不变． 定理4在反演变换下，不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆；过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线． 定理5在反演变换下，不过反演中心的圆的反形仍是不过反演中心的圆． 定理6在反演变换下，两条曲线在交点处的交角大小保持不变，但方向相反． 定理7如果两圆或一圆一直线相切于反演中心，则其反形是两条平行直线；如果两圆或一圆一直线相切于非反演中心，则其反形（两圆或一圆一直线）相切． 定理8如果两直线平行，则其反形（两圆或一圆一直线）相切于反演中心． 典型例题 一证明点共线 例1的内切圆与边、、分别相切于点、、， 设、、分别是、、的中点．求证：的外心、 内心与的外心三点共线． 证明：如图，设的内心为，内切圆半径为．以内心 为反演中心，内切圆为反演圆作反演变换，则、、的 反点分别为、、，因而的反形是的外接圆．故的外心、内心和的外心三点共线． 二证明线共点 例2四边形内接于，对角线与相交于，设、、、的外心分别为、、、．求证：、、三直线共点． 证明：作反演变换，则、互为反点，、 互为反点，不变，直线不变，的外接圆的反形 是直线．由于直线与的外接圆正交，因而与 正交，即有．又，所以；同理，所以四边形为平行四边形，从而过的中点；同理也过的中点．故、、三线共点． 三证明点共圆 例3设半圆的直径为，圆心为，一直线与半圆交于、两点，且与直线交于．再设与的外接圆的第二个交点为．求证：． 证明：以为反演中心作反演变换，其中，为半圆的半径，则半圆上的每一点都不变，与的反形分别为直线、．且设、的反点分别为、，则为直线与的交点，在直径上，直线的反形为的外接圆，直线的反形为的外接圆．而是外接圆的直径．于是问题转化为证明．因为，，是的中点，所以过、、三点的圆是的九点圆，而在九点圆上，又在边上（不同于点），故，因此． 四证明一些几何（不）等式 例4设六个圆都在一定圆内，每一个圆都与定圆外切，并且与相邻的两个小圆外切，若六个小圆与大圆的切点依次为、、、、、．证明： 证明：如图以为反演中心作反演变换，则与的反形为两条平行线，其余5个圆的反形皆是与两条平行线中一条相切的圆；且反形中第一个圆与第五个圆均与两平行线相切，而其余三圆均与相邻的两圆相切．设、、、、的反点分别为、、、、，则其反形中的五个圆与两平行线中的一条（即的反形）依次切于、、、、；再设这五个圆的半径依次为、、、、，则由勾股定理可得，同理，，．显然，于是．但，，，．所以 故． 练习： 1（2002土耳其数学奥林匹克）两圆外切于点，且内切于另一于点、，另是小圆内公切线割的弦的中点，证明：当、、不共线时，是的内切圆圆心． 2（第30届IMO预选题）双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形．证明双心四边形的两个圆心与对角线的交点共线． 3（1997全国高中数学联赛）已知两个半径不等的圆与圆相交于、两点，圆与圆分别于圆内切于、．求证：的充分必要条件是、、三点共线． 1