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联赛导引(二) 函数 数列 数学归纳法 整数 一,基础知识导引 一,数列: 1,等差数列: (1),定义:.(2),通项公式:. (3),前项和公式:. (4),任意两项有. (5),对于任意正整数,若,则.反之不行. (6),若均是等差数列,则也是等差数列.() 2,等比数列: (1),定义:.(2),通项公式:. (3),前项和公式:.(4),任意两项有. (5),对于任意正整数,若,则. (6),无穷递缩等比数列所有项和公式:. 3,一些常用递归数列的通项: (1),形如的一阶递归式,其通项求法为 .(累加法) (2),形如的递归式,其通项求法为 .(累积法) (3),形如的递归式,由及,两式相减 得,有是首项为,且公比为的等比数列,先求 出,再求出. (4),形如的递归式,两边同时除以,得 ,令,得,求,再求. (5),形如()的递归式,两边取对数有, 令,则,仿(3)得,再求. 二数学归纳法 形式1: (i)验证成立; (ii)假设()成立,那么可推出也成立. 形式2: (i)验证;(ii)假设成立, 那么可推出也成立. 三,整数: 1,整数的分类: (1),; (2) (3),(4), 2,不定方程的常用解法: (1),公式法 :若是方程的一组整数解,则该方程的所有解为(). (2),数或式的分解法; (3),不等式法; (4),奇偶分析法; (5),换元法. 二,解题思想与方法导引 1,归纳猜想证明; 2,数形结合; 3,整体处理; 4,换元法; 5,配方法; 6,估算法. 三,习题导引 一,选择题 1,删去正整数数列1,2,3,中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第2003 项是 A,2046 B,2047 C,2048 D,2049 2,已知数列满足且,其前项之和为,则满足不等式 的最小整数是 A,5 B,6 C,7 D,8 3,设等差数列满足,且,为其前项之和,则中最大的是 A, B, C, D, 4,等比数列中,,公比,用表示它的前项之积,则中最大的是 A, B, C, D, 5,已知数列满足,,记,则 下列结论正确的是 A, B, C, D, 6,给定公比为的等比数列,设,,, ,则数列 A,是等差数列车员 B,是公比为的等比数列 C,是公比为的等比数列 D,既非等差数列又非等比数列 二填空题 7,设数列满足,,且对任意自然数,都有 ,又,则的值是 . 8,各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的 数列至多有 项. 9,设正数满足,且, 则数列的通项 . 10,将二顶式的展开式按的降幂排,若前三项系数成等差数列,则该展开 式中的幂指数是整数的项共有 个. 11,正整数使得是完全平方数,则的个位数字是 . 12,已知数列满足关系式，则的值是_________________________。 三解答题 13,求满足的所有质数. 14,个正数排成几行几列: 其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知, ,,试求的值. 15,确定所有的正整数,使方程有正整数解. 四,解题导引 1,C 在数列1,2,3,,2003中,删去了44个()完全平方数,现给该数列再补上44 项,得.所补的44个数中还有1个()完全平方数,把它删除, 再补上一项2048即可. 2,C 由递推式变形得:,令,则且-1=8. 得是首项为8,公比为的等比数列,于是,得, ,所以, 得,所以满足这个不等式的最小整数. 3,C 设等差数列的公差为,由,得,即 ,所以,则,,最大. 4,C