高中数学解题基本方法之定义法.doc

四、定义法 所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。 定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。 Ⅰ、再现性题组： 已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______。 A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7 设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。 A. MPOMAT B. OMMPAT C. ATOMMP D. OMATMP 复数z＝a＋2ｉ，z＝－2＋ｉ，如果|z| |z|，则实数a的取值范围是_____。 A. －1a1 B. a1 C. a0 D. a－1或a1 椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦点的距离为_____。 A. 8 C. 7.5 C. D. 3 奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－)的值为_____。 A. T B. 0 C. D. 不能确定 正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。 【简解】1小题：利用并集定义，选B； 2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B； 3小题：利用复数模的定义得，选A； 4小题：利用椭圆的第二定义得到＝e＝，选A； 5小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－)＝f()＝－f(－)，选B； 6小题：利用线面角、面面角的定义，答案2。 Ⅱ、示范性题组： 例1. 已知z＝1＋ｉ， ① 设w＝z＋3－4，求w的三角形式； ② 如果＝1－ｉ，求实数a、b的值。（94年全国理） 【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。 【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z＋3－4＝(1＋ｉ)＋3－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是（cos＋ｉsin）； 由z＝1＋ｉ，有＝＝＝(a＋2)－(a＋b)ｉ。 由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ； 根据复数相等的定义，得：， 解得。 【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。 例2. 已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝logf(x)的定义域，判定在(,1)上的单调性。 【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断。 【解】 解得： ∴ f(x)＝－x＋x 解f(x)0得：0x1 设xx1， 则f(x)－f(x)＝－x+x-（-x+x）=(x-x)[1-(x+x)( x+x)], ∵ x+x， x+x ∴ (x+x)( x+x)〉×＝1 ∴ f(x)－f(x)0即f(x)在(,1)上是减函数 ∵ 1 ∴ y＝logf(x) 在(,1)上是增函数。 A’ A D C’ C O H B’ B 【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c的过程中，运用了待定系数法和换元法。 例3. 如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点。 证明：AB’∥平面DBC’； 假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。（94年全国理） 【分析】 由线面平行的定义来证①问，即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得；由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。 【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD ∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱 ∴ 四边形B’BCC’是矩形 ∴ O是B’C中点 △AB’C中， D是AC中点 ∴ AB’∥OD ∴ AB’∥平面DBC’ 作DH⊥BC于H，连接OH ∴ DH⊥平面BC’C ∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD ∴ BC’⊥OH 即∠DOH为所求二面角的平面角。 设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝sin60°＝，BH＝，EH＝ ； Rt△BOH中，OH＝BH×EH＝， ∴ OH＝＝DH