高中数学解题教学中渗透辩证思维.doc

高中数学解题教学中渗透辩证思维 顺德市华侨中学 唐超峰 数学辩证思维是从联系、运动、发展等三方面来考察数学对象的。因而，它能够反映数学内部的本质必然的属性，具有创造性的特点，因此，它在教学研究和数学学习中起着主要作用。纵观数学发展史，许多重大的数学发现的思维过程都具有辩证的特点。例如，数的概念的扩展、几何作图不可能问题的认识、解析几何和欧氏几何的创立等，无不是进行辩证思维、打破传统思维方式的束缚，而使数学发展和变革的典型事例。辩证思维是解决数学问题的重要策略。数学教学的过程中，教师若能时时处处注意对学生进行辩证思维方法的启发、培养，使学生逐步形成一种自觉的辩证思维能力，用以社会和指导工作，不但能提高数学教学质量，而且也是对学生进行辩证唯物主义思想教育的有效途径，从根本上达到育人的目的。本文拟对高中数学的解题教学过程中常用到的几种辩证思维方法加以阐述。 以简驭繁，化简曝光 学生面对一些较为复杂、繁难的问题，有时可能会感到无从下手，这时不妨引导学生作出多种设计，看能否使问题得以化简，把题中的有关概念或方法转化为较简单的情形入手解决。遇繁思简是一条重要的思维原则，用简单的观点去看待复杂的形式，往往就能抓住形式表现的数学本质及辩证关系，从而获得解决问题的简化途径。换元法、代换法、变换法、递推法及消元、降次等都是体现这个策略的解题方法。 设0x1,a0且a≠1，试比较│loga(1-x)│与│loga(1+x)│的大小。 分折：a是讨论因素，于是题目就显得比较复杂，若能消去a，则可避免讨论。为此，作商运算，利用换底公式即得： 例2 设关于实数x的不等式与x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0（其中a∈R）的解集分别为A、B，求使AB的a的取值范围。 分析： 先化简第一个不等式，让其解集曝光，易得A={x│2a≤x≤a2+1} 设f(x)= x2-3(a+1)x+2(3a+1),则AB成立的充要条件是二次方程f(x)=0有两个实根，且分别在区间上,从而有： 解之，得 a=-1或1≤a≤3. 以退为进，退进互用 在解题过程中，有时为了达到“进”的目的。需要先退下来。正如华罗庚所言：“善于退，退到原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀巧！” 华罗庚的这段名言，道出了解数学题的一个重要策略———以退求进。反过来，有些数学问题可以先进后退，通过对更一般的问题的讨论，来解决特殊的或具体的问题，即以进求退。因此，进退互用是辩证思维的一条重要策略，有着广泛的应用。数学归纳法、递推法、降次法等都是进退互用辩证思维的具体体现。 是否存在常数a、b、c，使等式 对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 分析： 退到特殊情形研究，如果存在常数a、b、c使等式成立，令n=1、2、3，于是得到关于a、b、c的三元一次方程组，从而可解得a=3、b=11、c=10，然后用数学归纳法加以证明。 数形结合，珠联璧合 数和形是事物的数学特征的两个相互联系的侧面，数学是围绕着“数”和“形”这两个概念进行提炼、演变、归纳、发展起来的，“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，数形结合，不仅是数学研究的重要手段，也是解决数学问题的有效方法，数与形的结合是事物的数量关系和空间形式之间的辩证统一的具体体现。以数研究形，解题有路可循；以形研究数，会使问题直观、形象，解法灵活简洁，类比法、坐标法、几何变换、交集法等均在某种程度上体现了这个思想。 已知方程： 在区间[0，2π]上有两个不同的实根。（1）求a的取值范围；（2）求相应的两个实根之和。 分析：原方程的即：，考察函数（）图象的位置关系，便知，当且仅当， 即：时，直线与正弦曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实根。 当 时，直线与正弦曲线有两个不同的 交点关于直线对称，故对应的两个实根之和x1+x2=; 当 时，直线与正弦曲线有两个不同的交点 关于直线对称，故对应的两个实根之和x1+x2=; 已知z∈C ,且│z│=1,求│（z+1）(z-i)│的最大值。 分析：充分利用复数的几何意义，如图，复数1、i、z在 复平面对应的复数分别为A、B、C，则对应的复数分 别为z-i、z+1，所以三角形ABC的面积是： S= ∴ 易知，当且仅当点C的坐标是时，S△ABC的面积取到最大值。 ∴ 当z=时，│（z+1）(z-i)│取到最大值。 正难则反，智取华山 解决数学问题的过程，一般总是先从正面入手进行思考，这是解题的一种常规思维途径，但有时会遇到从正面入手不易解决、甚至无法解决的问题，这时就要从辩证的观点出发，试着从反面思考，智取华山。 设M={（x,y）│y=－│x│-2}，N={（x,y）│(x-a)2+y2=a2 }，若M∩N=φ，求实数a的取值范围。 分析：先确定M∩N≠φ时，实数a