高中数学论文类比推理在解析几何中的应用.doc

例谈类比在解析几何中的应用 在近几年的高考试题中，以能力立意的数学高考试题不断推出一些思路开阔、情境新颖脱俗的创新题型，它们往往不是以知识为中心，而是以问题为中心，并不拘泥于具体的知识点，而是将数学知识、方法和原理融于一体，突出对数学思想方法的考查，体现数学的思维价值。在2009年江苏省考试说明中，明确指出数学命题的指导思想要求突出数学基础知识、基本能力、基本思想方法的考查，重视数学基本能力和综合能力的考查，注重数学的应用意识和创新意识的考查，其中，推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳，类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性。 笔者研究近几年的高考试题，发现类比推理的考查较为突出，是高考的一个新的亮点，本文仅对类比推理在解析几何中的应用作相关论述。 圆锥曲线的统一性 椭圆，双曲线，抛物线统称为圆锥曲线，这是因为它们有着统一性的定义： 平面内到一个定点F的距离和到一条定直线(F不在上)的距离的比等于常数e的点的轨迹，当时，它表示椭圆； 当 时，它表示双曲线； 当 时，它表示抛物线。 由于它们有着共同的统一性定义，因此它们的性质有着许多类似之处，在研究有关的问题时，我们可以通过类比的方法，解决诸多问题。 （1）椭圆与双曲线类比 例1 ：（上海春招题） 已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值；试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明. 分析： 类似的性质为：若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值。 证明：设点M、P的坐标为（）、（），则N（）。 因为点M（）在已知双曲线上，所以， 同理， 则（定值）。 评注：本题以椭圆、双曲线为载体，考查直线的斜率，椭圆、双曲线的概念与方程，考查数学运算能力及类比推理的能力。 （2）椭圆与抛物线类比 例2：在椭圆中，F是左焦点，是左准线，A是右顶点，过F任作直线与椭圆交与B、C两点，连接AB、AC与左准线分别交与P、Q两点，设两点的纵坐标分别为，求证：为定值。 类比上述结论，在抛物线中，你能得到什么结论，并给予证明。 分析：如图所示， 以椭圆左焦点为极点，x轴为极轴，建立极坐标系，则极坐标方程为： ,设，，过C作，设准线与 x轴交与E点，则与相似，所以, 即：， 所以==。 同理可得， 所以。 类比椭圆与抛物线，我们可以发现抛物线只有一个顶点，另外一个顶点即在无穷远处，等同于椭圆的右顶点A，因此我们有以下结论： 在抛物线中，F为其焦点，为其准线，过F作直线与抛物线交与A、B两点，分别过A、B向准线作垂线，垂足分别为C、D，设两点的纵坐标分别为，则为定值，定值为，证明从略。 评注：本题中的类比是一个难点，只有牢牢把握住三类曲线的相似之处，才能解决此类问题，课本选修2-1（苏教版）第23页给出了三类曲线的形成模型，回归教材，深入的研究三类曲线的产生过程，是解决问题的关键。 （3）同类曲线自身的类比 例3： 在平面直角坐标系中，不难得到“对于双曲线xy=k,k0,上任意一点P，若点P在x轴和y轴上的射影分别为A、B，则必为定值 K”； 类比于此，对于双曲线上任意一点P，类似的命题是什么？并证明你的结论。 分析：鉴于x,y轴是双曲线xy=k,k0的两条渐近线，因此我们可以得到下面的结论：对于双曲线上任意一点P，若在两条渐近线上的射影分别是A、B，则有必为定值。这个定值是多少呢？我们不妨先取P为顶点时，可以得到定值为，证明从略。 评注：本题的类比关键在于抓住两坐标轴对于双曲线xy=k,k0而言实质上是其 渐近线。 （4）三类曲线间的类比 例4：在抛物线中，F为其焦点，为其准线，过F作直线与抛物线交与A、B两点，以AB为直径作圆C，试判断圆C与准线的位置关系。 类比上述结论，在椭圆与双曲线中是否仍有上述结论？若有，给予证明，若无，试说明位置关系。 分析：如图所示， 分别过A,B,C向准线作垂线，垂足分别为G,E,H，由抛物线的定义知， ,,所以， 由梯形的中位线定理知：, 所以：,即圆心到准线的距离等于圆的半径， 所以圆与准线相切。 类比上述推理过程，我们发现：由椭圆的第二定义知道：，，其中e为椭圆的离心率， 所以，由梯形的中位线定理知：, 所以,即圆心到准线的距离大于圆的半径，所以圆与准线相离。 同理：若曲线为双曲线，则圆与准线的位置关系是相交。 评注：本题考查圆锥曲线的统一定义，直线与圆的位置关系。类比的关键在于推理过程的类比，由于定义的统一性，判断方