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控制工程第3章习题解答
3.5 使用温度计对水温进行测量，若水温为恒定值，该温度计能在1分钟时指示出实际温度值的98%。假定温度计为一个一阶系统，求该系统的时间常数T。
解：
恒定的水温可以视为一个阶跃输入信号，温度计的测量输出可以视为对该阶跃输入信号的响应。
一阶系统的单位阶跃响应的时间函数为：（P82，3.3.2）
根据题意可知：
? ? (min)
若测量开始后，实际水温从零度起，以10°C/min的速度线性升温，求温度计在1分钟时的示值与实际水温的误差是多大？
（帮助公式：）
根据题意，实际的温度输入信号为：
其拉氏变换为：
测量误差的时间函数为：
其中：
所以：
当t=1时，测量误差为：
3.7已知控制系统的微分方程为，试用拉氏变换法求该系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应，并讨论二者之间的关系
解：由传递函数的定义和系统的微分方程（P34，2.2.2~2.2.3），可得系统的传递函数为
系统的单位脉冲响应为（P81）
系统的单位阶跃响应为（P82）：
比较和，有=
即系统的单位脉冲响应等于系统的单位阶跃响应的微分。
3.12下图为某数控机床系统的位置随动系统的方框图，
+-
+
-
试求：
（1）阻尼比及无阻尼固有频率
解：由图可知，该系统为一个单位反馈系统，其系统的闭环传递函数为：
对比二阶系统传递函数的标准形式(P83，3.4.1)
可得该系统的阻尼比及无阻尼固有频率为：
（2）该系统的，，，
(P90，3.4.15)
(P90，3.4.17)
若令，(P91，3.4.22)， (P91，3.4.25)
若令，(P91，3.4.23)，(P91，3.4.26)
+-3.15 要使下图所示系统的单位阶跃响应的最大超调量等于25%，峰值时间为2秒，试确定和的值
+
-
解：由图可知，该系统的闭环传递函数为：
对比二阶系统传递函数的标准形式
可得该系统的阻尼比及无阻尼固有频率为：
由题意，
令：，即 解得：
令： 解得：
再由：= 解得：
3.16如图所示系统，试求
（1）为多少时，；
（2）单位阶跃响应的超调量和调整时间；
+-（3）比较加入与不加入时系统的性能；
+
-
解：
（1）为多少时，；
由图可知，该系统为一个单位反馈系统，其系统的闭环传递函数为：
其无阻尼自由频率为：
又因为，即
由题意，要求，解得所需的为：
（2）单位阶跃响应的超调量和调整时间；
将该系统的闭环传递函数
对比二阶系统传递函数的标准形式：
可知该系统不是一个标准的二阶系统
其无法利用P90页公式3.4.17以及P91页公式3.4.22~2.4.23直接求得
需要利用的定义求得。
令输入信号为单位阶跃信号，即，其拉氏变换为：
输出信号的拉氏变换为：
令：，
可以求得：
由P86页公式(3.4.8~3.4.9)，可得：
则，
由上式可知，
由峰值时间的定义，令：
即： ?
解得：
将代入，求得响应的第一个峰值为：
由超调量的定义，得
由调整时间的定义：
即：
由于
上式等价为：
解得
若取，则
若取，则
(2)若没有串联环节，即
+-
+
-
则系统的闭环传递函数为：
对比二阶系统传递函数的标准形式
可得该系统的阻尼比及无阻尼固有频率为：
其超调量及调整时间为：
若令，，
若令，，
由此可见，串联环节的作用使得系统的性能改善了，即超调量和过渡时间都减小了。
3.17单位反馈系统的开环传递函数为
其输入为单位斜坡输入（单位恒速输入）时，系统的稳态误差，求所需的K值
解：由于系统为单位反馈系统，其稳态偏差与稳态误差相同(P98,3.6.4)，即
将写为标准形式(P100,3.6.12)
当输入为单位斜坡输入时，其稳态偏差为：
(P101，P102,表3.6.1)
求得所需的K值为500
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