高中物理奥赛解题方法十四近似法.doc

十四、近似法 方法简介 近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问题时，为了分析认识所研究问题的本质属性，往往突出实际问题的主要方面，忽略某些次要因素，进行近似处理.在求解物理问题时，采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似法.近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之一.纵观近几年的物理竞赛试题和高考试题，越来越多地注重这种能力的考查. 赛题精讲 例1：一只狐狸以不变的速度沿着直线AB逃跑，一只猎犬以不变的速率追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD⊥AB，且FD=L，如图14—1所示，求猎犬的加速度的大小. 解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度为猎犬所在处的曲率半径，因为r不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D处的加速度大小，由于大小不变，如果求出D点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了. 猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R，则加速度 其方向与速度方向垂直，如图14—1—甲所示.在时间内，设狐狸与猎犬分别 到达，猎犬的速度方向转过的角度为/R 而狐狸跑过的距离是：≈ 因而/R≈/L，R=L/ 所以猎犬的加速度大小为=/L 例2 如图14—2所示，岸高为，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为时，收绳速率为，则该位置船的速率为多大？ 解析 要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率. 设船在角位置经时间向左行驶距离，滑轮右侧的绳长缩短，如图14—2—甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有 = 两边同除以得：，即收绳速率 因此船的速率为 例3 如图14—3所示，半径为R，质量为m的圆形绳圈，以角速率绕中心轴O在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？ 解析 取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角很小时，有近似关系式 若取绳圈上很短的一小段绳AB=为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为，这段绳两端所受的张力分别为和（方向见图14—3—甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以和的大小相等，均等于T. 和在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为，根据牛顿第二定律有：； 因为段很短，它所对应的圆心角很小所以 将此近似关系和 代入上式得绳中的张力为 例4 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC，光滑小球从顶点A处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C处所需时间，恰好等于小球从顶点A处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C处所需的时间.这里假设铅垂轨道AB与水平轨道BC的交接处B有极小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计. 在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A点出发到C点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A点滑行到C点所经时间的上限与下限之比值. 解析 直角三角形AB、BC、CA三边的长分别记为、、，如图14—4—甲所示，小球从A到B的时间记为，再从B到C的时间为，而从A直接沿斜边到C所经历的时间记为，由题意知，可得：：=3：4：5， 由此能得与的关系. 因为 所以 因为：=3：4，所以 小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为，经各水平段所需时间之和记为，则从A到C所经时间总和为，最短的对应的下限，最长的对应的上限 小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与BC重合）时最短，其值即为，故= 的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降小量，便接一段水平小量，这两个小量之间恒有，角即为∠ACB，水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示的微齿形轨道，由于、均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间小量与之间有如下关联： 于是作为之和的上限与作为之和的之比也为故的上限必为，即得： 这样=7:5 例5 在光滑的水平面上有两个质量可忽略的相同弹簧，它们的一对端点共同连接着一个光滑的小物体，另外一对端点A、B固定在水平面上，并恰使两弹簧均处于自由