高中数学五彩缤纷的数列归纳推理题.doc

五彩缤纷的数列归纳推理题 湖北省阳新县高级中学　邹生书 ? 1.表格类 ? 例 1 （2010年高考浙江卷）在如下数表中，已知每行每列中的数都成等差数列， ? 第1列 第2列 第3列 。。。 第1行 1 2 3 。。。 第2行 2 4 6 。。。 第3行 3 6 9 。。。 。。。 。。。 。。。 。。。 。。。 ? 那么位于表中的第行第列的数是　　　。 ? 解法1 考察第行从左至右所构成的数列。依数表的规律知是首项为公差为的等差数列，所以。 ? 解法2? 考察表中第行第列的数所构成的数列。依题意得，，由数表规律知，将上述各项换一种呈现方式得，，由此不难归纳出。 ? 评注? 解决本题的关键是将所求的数放在一个数列中进行考察，只要求出该数列的通项公式则问题迎刃而解。解法1是考察第行从左至右所构成的数列，解法2考察表中第行第个数所构成的数列，尽管解题切入点和视角不同但所得结果同。 ? 2.图案类 ? ? ? 例2某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的中个图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮。现按同样的规刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形，则的表达式为＿＿＿ ? ? 解 观察得 ? ，故应填。 ? 例3 ?一同学在电脑中打出了如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●个数是（? ?） ? ??? ????????D.15 ? 解? 题目中圆圈是一字长蛇阵排列，构造数列，其中表示第个黑圈及前面所有圆圈的个数。观察排列规律易得，，或。令，解得，故应选。 ? 3.渐开线格点类 ? 例4（2010年福建信息卷）将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标，点处标，点处标，点处标，点处标，点处标，依此类推，则标签的格点的坐标为＿＿。 ? ? 解析? 华罗庚教授曾指出：“善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，退到我们容易看清问题的地方，是学好数学的一个诀窍.”，“以退求进”策略是归纳推理的基本策略。因为为奇数的平方，所以我们只需考察奇数的平方。因为标签为所对应的点为；标签为所对应的点为；依题意点的渐开规律知标签为所对应的点为；，于是猜想：标签为所对应的点为。令得，所以标签为的格点的坐标为。 ? ? 评注? 本解法的关键是从要复杂的问题情景中通过观察、分析、比较和猜想，最终将问题转化为考察奇数的平方所成的数列与对应的点的坐标间的关系。 ? 4.左右摆动格点类 ? 例5 如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的 ? 6个点：的横纵坐标对应数列的前12 ? 项,，则(? ) ? ??? ???????? ? ? 解? 将数列按脚标被4除所得的余数分类列表如下， ? 由表发现，， ? ，…，依此规律得 ? ，故选。 ? 点评? 改变一下呈现方式，规律很可能就会变得清晰可见。当你一筹莫展无计可施时，不妨改变一下问题的表现形式，也许问题会变得豁然开朗奇迹就在不经意间出现。 ? 5.等腰直角三角形数阵 ? 例6 把正整数按一定规则排成如图所示的三角形数表。设是位于这个三角形数表中从上往下数第行，从左往右数第个数，如。若，则与的和为＿＿＿ ? 解析? 观察三角形数表知，第行有个数，且奇数行均为奇数，偶数行均为偶数，从第二行开始自左至右构成公差为2的等差数列。因为为奇数，所以它在奇数行，故只需考察奇数行第一个数所构成的数列特征即可。根据三角形数表的排列规则，奇数行第一个数所构成的数列为，。 ? ? 用差分法得：， ? 由此发现：数列是首项为2，公差为4项数为 ? 的等差数列，其前项的和为，所以。假设在第行上，则，解得，所以，即在第63行上。于是第63行的第一个数是，所以第63行自左至右构成首项为公差为2的等差数列，设是该数列的第项，则有，解得。故是三角形数表中的第63行自左至右第45个数，故。 ? 评注? 本题问题情景错综复杂，从解法知本题需要考察两个数列，其中奇数行第一个数所构成的数列通项公式的获得，是问题解决的关键有一定难度，此外通过解不等式确定所求的数所在的行数又是一个难点，本题综合能力要求较高是一道难题。 ? 6.倒立等边三角形数阵 ? 例7 ?给定倒三角形数表如图①所示，其中第一行各数依次是，从第二行起每一个数分别等于上一行左右两数之和，最后一行只有一个数M，则这个数M是＿＿。 ? 1?? 2?? 3???? …?? 2007? 2008? 2009???????? 1??? 2???? 3?? 4?? 5??? 6??? 7 ? ? 3?? 5?????? …????? 4015? 4017?????