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课程总复习 第一章 一、基本概念 1）状态空间表达式是由状态方程和输出方程组成；状态方程是一个一阶微分方程组，主要描述系统输入与系统状态的变化关系；输出方程是一个代数方程，主要描述系统的输出与状态和输入的关系。因此，状态空间表达式反映了控制系统的全部信息； 2）对于不同的控制系统，根据相应的物理和化学定理，可建立其系统的状态空间表达式； 3）对于同一系统，由于系统状态变量的选择不惟一，故建立的系统状态表达式也不是惟一的。但是同一系统的传递函数阵却是惟一的，即所谓传递函数阵的不变性；没有零极点对消的传递函数的实现称为最小实现，即在所有实现中，它的阶数最小。 4）由于状态变量选择的不惟一，对于同一系统，其状态空间表达式可能不同，但状态变量个数等于系统中独立储能元件的个数； 5）微分方程、传递函数和方块图与状态空间表达式之间可以相互转换。根据系统的传递函数可直接写出系统的能控标准型实现。当系统的数学模型以微分方程的形式描述且输入函数包含导数项时，可先将其等效地转换为系统的传递函数，然后利用传递函数的转换方法来建立系统的状态空间表达式，这种方法可大大简化其求解过程； 6）状态空间表达式经线性变换可化系统矩阵A为对角线标准型或约当标准型。若系统矩阵A的特征值互异，必存在非奇异变换阵，将系统矩阵A化为对角线标准型。当系统矩阵A的特征值有重根时，一般来说，经线性变换，可将A化为约当标准型；但在有些情况下也能将A转换为对角线标准型； 7）线性非奇异变换不改变系统的基本特征量，如线性非奇异变换不改变系统的特征值、传递函数阵等； 二、要求 1）掌握根据系统的物理机理建立系统状态空间表达式的方法； 2）会用系统结构图与模拟结构图来描述系统的状态空间表达式； 3）掌握由系统的微分方程式建立系统状态空间表达式的两种方法； 4）掌握由系统方框图建立状态空间表达式的方法； 5）掌握由系统的传递函数建立系统状态空间表达式的三种方法； 6）掌握由系统的状态空间表达式求传递函数阵的方法； 7）掌握由组合系统的状态空间表达式求传递函数阵的方法； 8）利用线性变换可将状态方程化为对角线标准型或约当标准型； 状态空间描述变换为标准形 特征值有重根求标准形（P38） 例 系统矩阵如下，试求将其变换成约当型矩阵的变换矩阵T。 状态转移矩阵φ(t,t0)的基本性质 例 已知系统状态方程,试确定该系统在输入作用分别为单位脉冲函数、单位阶跃输入及单位斜坡函数时的状态响应。 解：（1）单位脉冲响应 （2）单位阶跃响应 （3）单位斜坡响应 例 已知系统 解: 系统具有唯一的平衡点 , 取 则 因为除原点处外， 不会恒等于零。 当 时， ，所以系统在其原点 处大范围渐近稳定。 3） 对偶原理 线性系统 与 互为对偶系统。若系统 能控，则 能观测；若系统 能观测，则 能控。 4） 线性定常系统的结构分解 从能控性和能观测性出发，状态变量可分解为能控能观测，能控不能观测，不能控能观测和不能控不能观测四类。以此对应，将状态空间划分为四个子空间，系统也对应分解为四个子系统。研究结构分解能更明显地揭示系统的结构特性和传递特性。非奇异变换不改变系统的能控性与能观性，只有状态完全能控（能观）的系统才能化为能控标准形（能观标准形）。 英癌淳比炒向存哥刘寥岂牛朽欢迹文蝶亥两育固绣袱镜闸露溉绚摸菏绊触现代控制理论总复习现代控制理论总复习 5） 最小实现 已知传递函数阵个G(s)，找一个系统 满足关系 则称系统 为G(s)的一个实现。当系统阶数等于传递函数阵的阶数时，称该系统为G(s)的一个最小实现。 传递函数阵G(s)的实现并不唯一，最小实现也不唯一，仅最小实现的维数唯一。 最小实现的常用标准形式有能控标准型实现，能观测标准型实现等。 虑汰冒籍疤珐膘嘘姬技蒲跺档扑吧秩借喉级丸炭歌瑰邹废蝶念螟湖坠锐醋现代控制理论总复习现代控制理论总复习 二、基本要求 1）正确理解能控性、能观测性的基本概念； 2）熟练掌握判定系统能控、能观测的充要条件及有关方法； 3）理解能控性、能观测性与系统传递函数阵的关系； 4）掌握状态空间表达式向能控、能观测等标准型变换的基本方法； 5）理解线性系统结构分解的作用和意义，了解结构分解的一般方法