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高中数学竞赛模拟试卷（2） 班级 姓名 选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1．函数与的定义域和值域都是，且都有反函数，则函数 的反函数是（ ） 2．集合由满足如下条件的函数组成：当时，有 ，对于两个函数， 以下关系中成立的是（ ） 中，则比式 等于 4．抛物线上两点关于直线对称， 若，则的值是（ ）. 5．椭圆的中心，右焦点，右顶点，右准线与轴的交点依次为 ，则 的最大值为（ ）. 不能确定. 6．函数的值域为（ ） 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上. 7．若，则 . 8．数列由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数连续出现次，，如果这个数列的通项公式为 则 9．为实数，满足，则 的最大值为 . 10．若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积，则集中元素个数的最大值为 . 11．作出正四面体每个面的中位线，共得条线段，在这些线段中，相互成异面直线的 “线段对”有 个. 12．用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有 种. 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．设为正数，证明： 14．已知二次函数 （1）若变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定点的坐标。 （2）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记两数中较大者为P，试求P的最小值。 15．设是质数，且的不同正因数的个数不超过个．求． 高二数学竞赛模拟试卷（2）参考答案 选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1．函数与的定义域和值域都是，且都有反函数，则函数 的反函数是（ ） 答：C. 解：由依次得 ，互易得 . 2．集合由满足如下条件的函数组成：当时，有 ，对于两个函数， 以下关系中成立的是（ ） 答：D. 解：． ，取， 则. 中，则比式 等于 答： 解：如图易知， ， 因此选 4．抛物线上两点关于直线对称， 若，则的值是（ ）. 答：． 解：由以及 得 ， 5．椭圆的中心，右焦点，右顶点，右准线与轴的交点依次为 ，则 的最大值为（ ）. 不能确定. 答：． 解： .（时取等号） 6．函数的值域为（ ） 答：. 解：的定义域为则，令，则 因，则 . 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上. 7．若，则 . 答： . 解：由条件得， 则. 8．数列由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数连续出现次，，如果这个数列的通项公式为 则 答：. 解：由，即当 时， ，所以 ，于是， 9．为实数，满足，则 的最大值为 . 答： . 解：设，则 ，（当时取等号）. 10．若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积，则集中元素个数的最大值为 . 答：. 解：从中每次取一对作乘积，共得个值，但其中有重复，重复的情况为 ，共种，因此集合中至多有 个数 . 11．作出正四面体每个面的中位线，共得条线段，在这些线段中，相互成异面直线的 “线段对”有 个. 答：个“线段对”. 解：任取一条中位线考虑，所在的侧面没有与异面的线段；含点的另一个侧面恰有一条中位线与异面；含点的另一个侧面恰有一条中位线与异面；不含的侧面恰有两条中位线与异面；因此与异面的中位线共有条，即含有线段的异面“线段对”共有个，于是得异面“线段对”个，（其中有重复）. 但每一个异面“线段对”中有两条线段，故恰被计算了两次，因此得个异面“线段对”. 12．用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段