高中数学竞赛2005年高中数学联赛试卷及答案.doc

二〇〇五年高中数学联赛试卷 一、选择题 1. 使关于x的不等式有解的实数k的最大值是 A. B. C. D. 2. 空间四点A、B、C、D，满足、、、，则的取值 A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 D. 有无穷多个 3. △ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点，则的值是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如图，ABCD－ABCD为正方体，任作平面α与对角线AC垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则 A. S是定值，l不是定值 B. S不是定值，l是定值 C. S、l均是定值 D. S、l均不是定值 5. 方程表示的曲线是 A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线 C. 焦点在y轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的双曲线 6. 记集合，，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是 A. B. C. D. 二、填空题 7. 将多项式表示为关于y的多项式 ，且，则=__________。 8. f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若成立，则实数a的取值范围是_____________。 9. 设α、β、γ满足，若对任意，成立，则=_____。 10. 如图，四面体DABC的体积为，∠ACB=45°，，则CD=_________。 11. 正方形ABCD的一条边在直线上，另外两顶点在上，则正方形面积的最小值为_____________。 12. 若自然数a的各位数字之和为7，则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3…，若an=2005，则a5n=______。 三、解答题 13. 数列{an}满足a0=1，，，证明：(1)对于任意，a为整数；(2)对于任意，为完全平方数。 14. 将编号为1、2、3、…9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求值S达到最小值的方法的 概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）。 15. 过抛物线y=x2一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D，交y轴于B，C在抛物线上，E在线段AC上，，F在线段BC上，，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于P，当C在抛物线上移动时，求P的轨迹方程。