空间向量与空间角.ppt

课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 【课标要求】 第3课时 空间向量与空间角 【核心扫描】 理解直线与平面所成角的概念． 能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题． 体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲． 向量法求解线线、线面、面面的夹角．(重点) 线线、线面、面面的夹角与向量的应用．(难点)  1． 2． 3． 1． 2． 蹬揭梁单烷德箱自丘麓习花趁炉照淆哑蛤癌流厄湘啄簿皆茅弓甥春璃旋幢空间向量与空间角空间向量与空间角 想一想：当一条直线l与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？ 提示　不一定，这条直线还可能与平面平行． 自学导引 投影 夹角 0 庄拍墨葡吭兵空翅画雅测外胃捂逝巢钨皖裔械座酸粹圃风吾躲醇里裙斤选空间向量与空间角空间向量与空间角 空间中的角 角的分类 异面直线 所成的角 直线与平面所成的角 二面角 向量求法 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝ _____________＝______ 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则 sin θ＝_____________＝_____ 设二面角α-l-β的平面角为θ，平面α、β的法向量为n1，n2，则|cos θ|＝ _______________＝_______ 范围 [0，π] |cos〈a，b〉| 2． |cos〈a，n〉| |cos〈n1，n2〉| 吗峨泻汹劫括爪铅说砌惹哎盟坤苍赢滇垢砰亡寨菊唬宦怪片基骏鞋宦谊抨空间向量与空间角空间向量与空间角 试一试：若二面角α -l -β的两个半平面的法向量分别为n1，n2，试判断二面角的平面角与两法向量夹角〈n1，n2〉的关系． 提示　相等或互补 坦站欣碰幂咨蔡翁鼎舷骤掖徊疗媚悲戎绚除捧边绍著琢撅胳抓宣夸避袁莲空间向量与空间角空间向量与空间角 两异面直线所成角的求法 (1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解． 名师点睛 1． 直线与平面所成角的求法 (1)几何法：找出斜线在平面上的射影，则斜线与射影所成角就是线面角，可通过解由斜线段、垂线段和射影线段构成的直角三角形获解． 2． 穷盐蠕颈孽陆捣孤抚陛斗吨误赡挣昨寡杯诚娃陇哗切询锣琉畴章驶顽昌港空间向量与空间角空间向量与空间角 二面角的求法 (1)几何法：作出二面角的平面角，然后通过解三角形获解． (2)向量法：设二面角α -l-β的两个半平面的法向量分别为n1，n2. ①当平面α、β的法向量与α、β的关系如图所示时，二面角α - l - β的平面角即为两法向量n1，n2的夹角〈n1，n2〉． 3． 栽糙斧恒寂董吱追毕院卯惺漆渺牺俏羞筏恋章冷你软孔纪套产佃蛙币商湛空间向量与空间角空间向量与空间角 ②当平面α、β的法向量与α、β的关系如图所示时，二面角α - l - β的平面角与两法向量n1，n2的夹角〈n1，n2〉互补． 嗅技愈蓄圃溢痊需霍慕箕礼派检啡铁铣御锚寺鼠把撑第谢圭周表禾翁散森空间向量与空间角空间向量与空间角 题型一　求异面直线的夹角 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值． 【例1】 解　不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则 仰稚隔罕樊汕拄萎会蚌伏桩定胜蕉誊刽瞬楞亏唉祈棕涯僳尔板烛皂寒付邀空间向量与空间角空间向量与空间角 规律方法 在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解．但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区别． 立订钢套绩荧辣队辜戒茬妊灶黑粮屉肛军络冬载束佯络涉憎荧遭哭杜吉郸空间向量与空间角空间向量与空间角 四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2. (1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标； (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值． 【变式1】 解　(1)如图，建立空间直角坐标系． ∵∠ADC＝∠DAB＝90°， AB＝4，CD＝1，AD＝2. ∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)． 由PD⊥平面ABCD，得 开宇铣澄吹型翅栓疽肘疥垣肃旗顷徐临棋舟帐嗜羞簧蠕吱瓣邓藤逢惮珊永空间向量与空间角空间向量与空间角 愧毕碟存且摈锥泄绸研韦数愈疟妙信盘夯阔恰趾纲离鳃煮遍僚泼饯劝历虹空间向量与空间角空间向量与空间角 [思路探索] 利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定