Black-scholes期权定价模型(上海财经大学刘莉亚).ppt

Black-Scholes期权定价模型 Black-Scholes期权定价模型的基本思路 期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。 标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格变化也是一个相应的随机过程。 金融学家发现，股票价格的变化可以用Ito过程来描述。而数学家Ito发现的Ito引理可以从股票价格的Ito过程推导出衍生证券价格所遵循的随机过程。 在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程中， Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一个重要的方程： Black-Scholes微分方程。 求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。 为什么要研究证券价格所遵循的随机过程? 期权是衍生工具，使用的是相对定价法，即相对于证券价格的价格，因此要为期权定价首先必须研究证券价格。 期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化的。需要了解其所遵循的随机过程。 研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量取值的概率分布情况。 随机过程 随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。 随机过程的分类 离散时间、离散变量 离散时间、连续变量 连续时间、离散变量 连续时间、连续变量 几种随机过程 标准布朗运动（维纳过程 ） 起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中，处于大量微小分子撞击下的的小粒子运动的描述。 设Δt代表一个小的时间间隔长度，Δz代表变量z在Δt时间内的变化，遵循标准布朗运动的Δz具有两种特征： 特征1： 其中，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。 特征2：对于任何两个不同时间间隔Δt ，Δz的值相互独立。 特征的理解 特征1： 特征2: 马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。 标准布朗运动（续） 考察变量z在一段较长时间T中的变化情形： z（T）－z(0)表示变量z在T中的变化量 又可被看作是在N个长度为Δt的小时间间隔中z的变化总量，其中N=T/ Δt 。 很显然，这是n个相互独立的正态分布的和： 因此，z（T）-z（0）也具有正态分布特征，其均值为0，方差为N Δt =T，标准差为 。 为何定义为： 当我们需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时，独立的正态分布，期望值和方差具有可加性，而标准差不具有可加性。这样定义可以使方差与时间长度成比例，不受时间划分方法的影响。 相应的一个结果就是：标准差的单位变为 连续时间的标准布朗运动： 当Δt ?0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动 普通布朗运动 变量x遵循普通布朗运动： 其中，a和b均为常数，z遵循标准布朗运动。 这里的a为漂移率（Drift Rate），是指单位时间内变量x均值的变化值。 这里的b2为方差率（Variance Rate），是指单位时间的方差。 这个过程指出变量x关于时间和dz的动态过程。其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a。第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。 可以发现，任意时间长度后，x值的变化都具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为 ,方差为b2T. Ito过程和Ito引理 伊藤过程（Ito Process）： 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就得到 其中，z遵循一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2都随时间变化。这就是伊藤过程。 Ito引理 若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程： 其中，z遵循一个标准布朗运动。由于a 和b都是x和t的函数，因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为 方差率为 证券价格的变化过程 目的：找到一个合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述证券价格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。 基本假设：证券价格所遵循的随机过程： 其中，S表示证券价格，μ表示证券在单位时间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收益率），σ2 表示证券收益率单位时间的方差，σ表示证券收益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率（Volatility），z遵循标准布朗运动。 一般μ和σ的单位都