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循环冗余校验码（CRC）的基本原理 ? 循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。?校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2R，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过C(x)*2R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。?几个基本概念?1、多项式与二进制数码?多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。?多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。?如生成多项式为G(x)=x4+x3+x+1， 可转换为二进制数码11011。?而发送信息位 1111，可转换为数据多项式为C(x)=x3+x2+x+1。?2、生成多项式?是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。?在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。?应满足以下条件：?a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。?b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。?c、不同位发生错误时，应该使余数不同。?d、对余数继续做模2除，应使余数循环。?将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：?N?????????? K?????????? 码距d?????????? G(x)多项式?????????? G(x)7?????????? 4?????????? 3?????????? x3+x+1?????????? 10117?????????? 4?????????? 3?????????? x3+x2+1?????????? 11017?????????? 3?????????? 4?????????? x4+x3+x2+1?????????? 111017?????????? 3?????????? 4?????????? x4+x2+x+1?????????? 1011115?????????? 11?????????? 3?????????? x4+x+1?????????? 1001115?????????? 7?????????? 5?????????? x8+x7+x6+x4+1?????????? 11101000131?????????? 26?????????? 3?????????? x5+x2+1?????????? 10010131?????????? 21?????????? 5?????????? x10+x9+x8+x6+x5+x3+1?????????? 1110110100163?????????? 57?????????? 3?????????? x6+x+1?????????? 100001163?????????? 51?????????? 5?????????? x12+x10+x5+x4+x2+1?????????? 10100001101011041?????????? 1024?????????? 　?????????? x16+x15+x2+1?????????? 11000000000000101图9 常用的生成多项式?3、模2除（按位除）?模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位移位做下一位的模2减。步骤如下：?a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。?b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。?c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。?【例】1111000除以1101：?1011———商?————?1111000-----被除数?1101———— 除数?————?010000?1101?————?01010?1101?————?111————余数?CRC码的生成步骤?1、将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。?2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(